Explicación intuitiva por qué la integral sen(x) es -cos(x)

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Explicación intuitiva por qué la integral sen(x) es -cos(x)

cálculo
Matemáticas
trigonometría

MightyPork

Me doy cuenta de que hay un montón de preguntas similares, pero para derivadas. Sin embargo, esto es un poco diferente.

Entiendo bastante bien por qué la derivada de sin(x)es cos(x)y de cos(x)es -sin(x). Eso tiene sentido, ya que la derivada expresa el "ángulo de lo normal", puedo verlo fácilmente en el gráfico.

Sin embargo, cuando trato de, de manera analógica, usando un gráfico, encontrar la integral de sin (x), parece que no puedo entenderlo.

Aquí están mis gráficos:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Sé que la integral es "área bajo el gráfico". Si observa el gráfico de sin(x), comienza con un área cero debajo del gráfico y gradualmente se agrega más, con una velocidad creciente, luego se ralentiza y finalmente se detiene en PI, donde la derivada llega a cero. Luego, a medida que el gráfico pasa por debajo del eje X, el área se resta nuevamente y finalmente llega a cero en 2PI.

Eso no cuadra con -cos(x), ¿verdad? Tendría sentido si fuera como está en mi tercera foto.

Probablemente lo entiendo mal, así que por favor dame alguna pista de cómo entenderlo... el punto es que nunca recuerdo las fórmulas, y tengo un éxito razonable al encontrar las derivadas, pero nunca obtengo la integral correcta.

Arrepentirse

Tu tercera imagen se parece mucho a

- \cos

$-\cos$ . Tal vez un poco de traslación vertical los haría iguales, ¿eh?

MightyPork

Supongo... entonces, ¿eso significa que la constante de integración es 1entonces?

ramon

Estás hablando de integrales y antiderivadas. Así que cuando comparas el "área bajo el gráfico" de

\sin (x)

$\sin(x)$ de

[a, b]

$[a,b]$ solo estas mirando

- \cos (b) + \cos (a)

$-\cos(b) + \cos(a)$ en lugar del área de la gráfica para el

- \cos (x)

$-\cos(x)$ . En realidad deberías buscar antiderivadas y el teorema fundamental del cálculo y te ayudará a entender por qué las integrales deben ser así. También puedes buscar la forma exponencial y la forma de serie de seno y coseno

Respuestas (2)

Explicación intuitiva por qué la integral sen(x) es -cos(x)

Tu tercera imagen se parece mucho a $-\cos$ . Tal vez un poco de traslación vertical los haría iguales, ¿eh?
Supongo... entonces, ¿eso significa que la constante de integración es 1entonces?
Estás hablando de integrales y antiderivadas. Así que cuando comparas el "área bajo el gráfico" de $\sin(x)$ de $[a,b]$ solo estas mirando $-\cos(b) + \cos(a)$ en lugar del área de la gráfica para el $-\cos(x)$ . En realidad deberías buscar antiderivadas y el teorema fundamental del cálculo y te ayudará a entender por qué las integrales deben ser así. También puedes buscar la forma exponencial y la forma de serie de seno y coseno

Arrepentirse · Answer 1

Cuando habla de integrales, podría estar hablando de uno de muchos temas distintos, pero relacionados. Podrías referirte a integrales de Riemann, integrales indefinidas o muchos otros tipos de integrales.

Probablemente estés hablando de la integral indefinida cuando dices que la integral de $\sin$ es $-\cos$ . Lo que pasa con la integral indefinida es que en realidad no es una sola función. Es por eso que a menudo lo exhibes con el pequeño ${}+C$ al final. Una integral indefinida es más como un conjunto de funciones, que son todas iguales bajo traslaciones verticales.

Entonces, $\int f$ podría considerarse el conjunto de funciones que tienen una derivada $f$ . Hay muchas funciones que tienen la derivada $\sin$ , y son todos de la forma $-\cos+C$ , dónde $C$ es algún número real. Por eso se dice que la integral de $\sin$ es $-\cos$ .

Pero, ¿por qué la integral no representa el área? Bueno, lo hace. Lo que estabas diciendo era que $-\cos(x)$ debe ser el área bajo $\sin(x)$ hasta $x$ . La pregunta es, hasta $x$ ¿De donde? ¡No hay límite inferior! Si elige el límite inferior $0$ , entonces

- porque (X) - (- porque (0)) = - porque (X) + 1

$-\cos(x)-(-\cos(0))=-\cos(x)+1$

Tu consigues eso $+1$ te estabas preguntando, y representa el área bajo $\sin(x)$ de $0$ a $x$ .

Esta respuesta está lejos de ser perfecta, pero espero que sea de alguna utilidad para usted.
Sí, es una buena explicación, simplemente no ayuda mucho a "descubrir" que es -cos(x), como puedo hacer para la derivada usando la pendiente... Tendré que recordarlo, supongo
@MightyPork: Podrías probar esto: Haz lo que hiciste cuando creaste tu tercera imagen. Luego imagina qué función podría representar la gráfica si la movieras hacia arriba o hacia abajo. Por ejemplo, puede notar que al mover la tercera imagen hacia abajo $1$ hace que parezca $-\cos$ .

inquieto · Answer 2

Tienes razón en lo que respecta al área, ¡pero recuerda que la integral solo se define hasta una constante!

Numéricamente, si estuviera comparando áreas directamente, la función que necesitaría sería $1-\cos{x}$ . No obstante recordemos que se trata de una integración indefinida.

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Comprensión intuitiva de las derivadas de sinxsin⁡x\sin x y cosxcos⁡x\cos x

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

El área promedio de la sombra de un cuadrado.

¿Dónde estoy equivocado? ¿Por qué mi respuesta es diferente a la del libro?

¿Cómo resolver ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} con sustitución trigonométrica?

Evaluando ∫π20sinx√sinx√+cosx√dx∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\ sqrt{\sen x}+\sqrt{\cos x}}\, \mathrm{d}x

Integre ∫sinxcosxsin4x+cos4xdx∫sin⁡xcos⁡xsin4⁡x+cos4⁡xdx\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x} \,dx

¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

Evaluar ∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos \theta}}d\theta