Convergencia en distribución de la función característica a la delta de Dirac

La pregunta es: ¿la secuencia de funciones características F k ( X ) := x [ − 1 k , 1 k ] ( X ) convergen en sentido distribucional al delta de Dirac?

Para responder, seguí este enfoque, pero me temo que estoy descuidando algo importante en mis líneas:

Primero que todo, F k ∈ L yo o C 1 ( R ) , por lo que podemos escribir la acción de la distribución asociada como

⟨ T k ( X ) , ψ ⟩ = ∫ R x [ − 1 k , 1 k ] ( X ) ⋅ ψ ( X ) d X = ∫ − 1 k 1 k ψ ( X ) d X
para cada función de prueba ψ ∈ C C ∞ ( R ) . Luego calculé el límite como:
límite k → ∞ ⟨ T k ( X ) , ψ ⟩ = límite k → ∞ ∫ − 1 k 1 k ψ ( X ) d X = límite k → ∞ ∫ − 1 1 1 k ⋅ ψ ( y k ) d y
y aplicó el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, diciendo que | ψ ( y k ) | | k | ≤ sorber X ∈ [ − 1 , 1 ] | ψ ( X ) | < ∞ y límite k → ∞ ψ ( y k ) k = 0 . Entonces deduje que la secuencia T k converge a la distribución asociada a la función cero.

¿Es correcta mi prueba? Cualquier verificación u observación sería realmente apreciada.

Respuestas (2)

Tu argumento es correcto. De hecho, las funciones características x ε de intervalos cada vez más pequeños [ − ε , ε ] no converger a d (en un sentido distributivo), sino, más bien, para 0 . Aún así, las renormalizaciones para tener "masa total" 1 , a saber, 1 2 ε x ε , convergen a d , por un cálculo similar.

Estás complicando demasiado las cosas. ψ es una función acotada y si | ψ | ≤ METRO obtenemos | ∫ − 1 / k 1 / k ψ ( X ) d X | ≤ METRO 2 k → 0 .

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