¿Cómo resolver ecuaciones distribucionales?

Question

¿Cómo resolver ecuaciones distribucionales?

Matemáticas
teoría de la distribución
análisis funcional
ecuaciones diferenciales parciales

Theo Diamantakis

estoy tratando de resolver este ejercicio

Si $T \cdot x=1$ en el sentido de las distribuciones entonces $T=\textrm{p.v.}\left(\frac{1}{x}\right)+c \delta_{0}$

Dónde $\delta_{0}$ es la distribución delta de Dirac centrada en el origen y

⟨ p.v. (\frac{1}{X}), φ ⟩ = \underset{ε \to 0}{límite} \int_{R ∖ (- ε, ε)} \frac{φ (X)}{X} d X

$\left\langle\textrm{p.v.}\left(\frac{1}{x}\right), \varphi\right\rangle=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R} \backslash(-\varepsilon, \varepsilon)} \frac{\varphi(x)}{x} d x$

Para cualquier función de prueba $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$

Aquí está mi intento, la igualdad en el sentido de distribución debe significar igualdad para cualquier función de prueba, por lo que

\int_{R} T \cdot X φ d X = \int_{R} φ d X ⟹ \int_{R} φ (T \cdot X - 1) d X = 0 ⟹ \int_{R} X φ (T - \frac{1}{X}) d X = 0

$\int_{\mathbb{R}}T\cdot x \varphi dx = \int_\mathbb{R} \varphi dx \implies \int_\mathbb{R} \varphi (T \cdot x - 1)dx = 0 \implies \int_\mathbb{R} x\varphi (T - \frac{1}{x})dx = 0$

Desde $\varphi$ es cualquier función de prueba arbitraria $\psi = x \varphi$

⟹ \int_{R ∖ (- ε, ε)} ψ (T - \frac{1}{X}) d X + \int_{- ε}^{ε} ψ (T - \frac{1}{X}) d X = 0

$\implies \int_{\mathbb{R} \setminus (-\varepsilon, \varepsilon)} \psi (T - \frac{1}{x})dx + \int_{-\varepsilon}^\varepsilon \psi (T - \frac{1}{x})dx = 0$

Tomando $\varepsilon \rightarrow 0$ da

\int_{R} T ψ = \underset{ε \to 0}{límite} \int_{R ∖ (- ε, ε)} \frac{ψ (X)}{X} d X

$\int_{\mathbb{R}}T\psi = \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R} \backslash(-\varepsilon, \varepsilon)} \frac{\psi(x)}{x} d x$

Entonces $T$ es el valor principal de Cauchy. Pero, ¿dónde aparece el delta de dirac? si no se nada $T$ ¿Está justificado suponer que $\langle T, \varphi \rangle = \int_\mathbb{R} T\varphi$ es decir, "integral de algo" veces la función de prueba? El delta de dirac no parece seguir realmente el ejemplo, ya que solo se define como $\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$ , ni tampoco el valor principal.

md2perpe

El

pv

$\textrm{pv}$ o

p.v.

$\textrm{p.v.}$ es la abreviatura de "valor principal"; no es una multiplicacion

Theo Diamantakis

Si, eso es correcto.

md2perpe

Entonces, ¿por qué lo escribes como una multiplicación?

p \cdot v \cdot (\frac{1}{x})

$\mathrm{p} \cdot \mathrm{v} \cdot\left(\frac{1}{x}\right)$ ?

md2perpe

El delta de Dirac entra como las soluciones a la ecuación homogénea

T \cdot x = 0.

$T \cdot x = 0.$ Si

T_{1}

$T_1$ y

T_{2}

$T_2$ son dos soluciones para

T \cdot x = 1

$T \cdot x = 1$ entonces

T_{1}

$T_1$ y

T_{2}

$T_2$ difieren por una solución a la ecuación homogénea.

Theo Diamantakis

Mi látex es todavía un poco primitivo.

Theo Diamantakis

¿Diferir de una solución a la ecuación homogénea es análogo a la igualdad de funciones en casi todas partes que difieren en un conjunto nulo o soluciones a problemas lineales que difieren en un elemento en el núcleo? ¿Se aplica esto a cualquier igualdad en el sentido de distribuciones?

md2perpe

Es análogo a "soluciones a problemas lineales que difieren por un elemento en el núcleo". No tiene nada que ver con conjuntos nulos. No diría que se aplica a "cualquier" igualdad. Se aplica a la resolución de ecuaciones lineales; multiplicación con

x

$x$ es un operador lineal en el espacio de distribuciones.

Respuestas (1)

¿Cómo resolver ecuaciones distribucionales?

El $\textrm{pv}$ o $\textrm{p.v.}$ es la abreviatura de "valor principal"; no es una multiplicacion
Entonces, ¿por qué lo escribes como una multiplicación? $\mathrm{p} \cdot \mathrm{v} \cdot\left(\frac{1}{x}\right)$ ?
El delta de Dirac entra como las soluciones a la ecuación homogénea $T \cdot x = 0.$ Si $T_1$ y $T_2$ son dos soluciones para $T \cdot x = 1$ entonces $T_1$ y $T_2$ difieren por una solución a la ecuación homogénea.
¿Diferir de una solución a la ecuación homogénea es análogo a la igualdad de funciones en casi todas partes que difieren en un conjunto nulo o soluciones a problemas lineales que difieren en un elemento en el núcleo? ¿Se aplica esto a cualquier igualdad en el sentido de distribuciones?
Es análogo a "soluciones a problemas lineales que difieren por un elemento en el núcleo". No tiene nada que ver con conjuntos nulos. No diría que se aplica a "cualquier" igualdad. Se aplica a la resolución de ecuaciones lineales; multiplicación con $x$ es un operador lineal en el espacio de distribuciones.

md2perpe · Answer 1

md2perpe

Entonces $T$ es el valor principal de Cauchy. Pero, ¿dónde aparece el delta de dirac?

El delta de Dirac entra como las soluciones a la ecuación homogénea $T \cdot x=0$ . Si $T_1$ y $T_2$ son dos soluciones para $T \cdot x=1$ entonces $T_1$ y $T_2$ difieren por una solución a la ecuación homogénea.

si no se nada $T$ ¿Está justificado suponer que $\langle T, \varphi \rangle = \int_\mathbb{R} T\varphi$ es decir, "integral de algo" veces la función de prueba?

No, no es. La distribución no tiene que ser una función. Por ejemplo, $\delta$ no es una función.

Debido a esto, su solución no es buena.

Me gustaría sugerir otro enfoque:

Muestra esa $x \cdot \textrm{p.v.}\left( \frac{1}{x} \right) = 1$ como una distribución.
Luego suma las soluciones a la ecuación homogénea.

Theo Diamantakis

como muestro eso

T \cdot x = 0

$T \cdot x = 0$ tiene solución única

T = δ_{0}

$T = \delta_0$ ? Como no puedo asumir que puedo expresar como una integral, tengo

⟨ T \cdot x, φ ⟩ = 0 = ⟨ T, x φ ⟩

$\langle T\cdot x, \varphi \rangle = 0 = \langle T, x \varphi \rangle$ para cualquier función de prueba.

Theo Diamantakis

En realidad no creo que pueda decir

⟨ T \cdot x, φ ⟩ = ⟨ T, x φ ⟩

$\langle T\cdot x, \varphi \rangle = \langle T, x \varphi \rangle$ ya que estoy usando implícitamente la conmutatividad de funciones debajo de la integral.

md2perpe

Por definición de

T \cdot x

$T \cdot x$ tienes

⟨ T \cdot x, φ ⟩ = ⟨ T, x φ ⟩

$\langle T \cdot x, \varphi \rangle = \langle T, x \varphi \rangle$ .

md2perpe

Tal vez usted haya demostrado en el curso que

x δ = 0

$x \delta = 0$ ?

Theo Diamantakis

¿Podrías explicar por qué?

⟨ T \cdot x, φ ⟩ = ⟨ T, x φ ⟩

$\langle T\cdot x, \varphi \rangle = \langle T, x \varphi \rangle$ es por definicion? No he definido formalmente el producto de funciones y distribuciones suaves, por lo que podría ser obvio, desafortunadamente no he visto la prueba.

x δ = 0

$x \delta = 0$ , este es un ejercicio de mi curso de PDE donde las distribuciones fueron un poco breves aparte para definir rigurosamente las soluciones fundamentales, por lo que no he visto muchas manipulaciones que las involucren.

md2perpe

Multiplicación de un

C^{\infty}

$C^\infty$ función

f

$f$ con una distribución

T

$T$ se define a través de

⟨ F T, φ ⟩ := ⟨ T, F φ ⟩ .

$\langle f T, \varphi \rangle := \langle T, f \varphi \rangle.$ Esto se basa en que esto es válido cuando

T

$T$ es una función:

\int (F T) (X) φ (X) d X = \int T (X) (F φ) (X) d X

$\int (f T)(x) \, \varphi(x) \, dx = \int T(x) \, (f\varphi)(x) \, dx$

md2perpe

Es fácil ver que

x δ = 0

$x \delta = 0$ :

⟨ X d, φ ⟩ = ⟨ d, X φ ⟩ = (X φ) (0) = 0 φ (0) = 0 = ⟨ 0, φ ⟩ .

$\langle x \delta, \varphi \rangle = \langle \delta, x \varphi \rangle = (x \varphi)(0) = 0 \varphi(0) = 0 = \langle 0, \varphi \rangle.$ para ver porque

T = C δ

$T = C \delta$ para

C

$C$ constantes son las únicas soluciones distributivas para

x T = 0

$x T = 0$ , consulte, por ejemplo , math.stackexchange.com/a/3172467/168433 .

Theo Diamantakis

Tiene sentido gracias.

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