Valor principal de 1/x

Estoy tratando de mostrar ese pv 1 X ( φ ) := límite ϵ → 0 + ∫ | X | > ϵ φ ( X ) X d X , φ ∈ S existe y define una distribución temperada, donde S denota el espacio de Schwartz.

El primer paso es dividir la integral:

p.v. 1 X ( φ ) = ∫ | X | < 1 φ ( X ) − φ ( 0 ) X d X + ∫ | X | > 1 φ ( X ) X d X

Ahora me doy cuenta de que la primera integral en el lado derecho es esencialmente el teorema del valor medio por lo que es igual a alguna derivada de φ .

Pregunta:

  • ¿Cómo trato con la segunda integral?
  • Yo sé eso ∫ 1 X d X no es integrable cerca del origen debido a que tiene una singularidad, por lo que mis pasos están justificados hasta ahora y, de ser así, ¿por qué?

Respuestas (1)

Primera pregunta.

∫ | X | > 1 | φ ( X ) | X d X = ∫ | X | > 1 | X φ ( X ) | X 2 d X ≤ sorber X ∈ R | X φ ( X ) | ∫ | X | > 1 1 X 2 d X = 2 sorber X ∈ R | X φ ( X ) | .
Segunda pregunta. Deberías escribir límite ϵ → 0 + ∫ ϵ < | X | < 1 φ ( X ) − φ ( 0 ) X d X . Ahora vemos que
x ϵ < | X | < 1 | φ ( X ) − φ ( 0 ) X | ≤ x | X | < 1 ‖ φ ′ ‖ L ∞ ( R ) ,
y x | X | < 1 ‖ φ ′ ‖ L ∞ ( R ) ∈ L 1 ( R ) , por lo que se aplica el teorema de convergencia dominada de Lebesgue.

por que es x | X | < 1 | | φ ′ | | L ∞ ( R ) ∈ L 1 ( R )
Eso ‖ φ ′ ‖ L 1 ( R ) es una constante, ahora ∫ R x | X | < 1 d X = v norte < ∞ , el volumen de la bola unitaria.
Donde hace φ ( 0 ) ¿viene de?
Lo sabemos ∫ ϵ < | X | < 1 φ ( 0 ) X d X = 0 .
¿Por qué el límite x ϵ < | X | < 1 φ ( X ) − φ ( 0 ) X existir para ϵ → 0 ? Quiero decir, ¿por qué se satisface la condición de convergencia puntual en el teorema de convergencia dominada de Lebesgue?
Si X = 0 , entonces el término es cero porque 0 ∉ { ϵ < | X | < 1 } . Si X ≠ 0 , entonces algunos ϵ > 0 es tan pequeño que ϵ < | X | < 1 , por lo que el término simplemente se convierte en φ ( X ) − φ ( 0 ) / X .
Por supuesto si | X | ≥ 1 , el término también se desvanece.
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