Cálculo de la derivada distributiva.

Definamos$g: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$

$$g(x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac{1}{\sqrt{x}} & \quad \text{if } x\in (0,1]\\ 0 & \quad \text{if } x=0\\ 1-x^2-x & \quad \text{if } x\in [-1,0)\\ \end{array} \right. \\$$ Me gustaría encontrar la derivada distribucional de $g$. Después de ver los ejemplos estándar $|x|$y la función de Heaviside. Hice esta función para probarme a mí mismo, pero estoy atascado... Esto es lo que tengo hasta ahora.

Tenga en cuenta que desde$g\in L^1_{loc}([-1,1])$, la derivada distributiva de$T_g$puede escribirse explícitamente como

$$\langle T_g ', \phi \rangle := -\langle T_g, \phi'\rangle = -\int_{-1}^1 g\phi' dx.$$ Al descomponer la integral en $-\int_{-1}^0$y $-\int_0^1$(aquí lo ignoramos $g(0) = 0$), calculamos lo siguiente $$- \int_{-1}^0 (1-x^2 -x) \phi' dx = - (1-x^2-x)\phi\bigg|_{-1}^0 + \int_{-1}^0 (-2x-1) \phi dx = -\phi(0) + \int_{-1}^0 (-2x-1) \phi dx.$$ Ahora sin embargo, desde $\frac{1}{\sqrt{x}}$no es continua absoluta en $(0,1]$, la fórmula de integración falla aquí, $\Big(\frac{1}{\sqrt x}\Big)' = \frac{-1}{2x^{3/2}}$no es integrable. $$-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \phi' dx = - \bigg(\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)\phi\bigg|_0^1 + \int_0^1 \frac{-1}{2x^{3/2}}\phi dx$$ ¿Hay algo que podamos hacer para este cálculo?