Hallar una segunda derivada parcial en sentido distribucional

me dicen que busque$f_{xy}$en sentido distributivo, donde:

$$f(x,y) = \begin{cases} 1 & y\geq x^3\\ 0 & y<x^3 \end{cases}$$ Ahora sé que las derivadas puntuales $f_{xy}$y $f_{yx}$son cero en todas partes. Cálculo de la segunda derivada en el sentido distribucional donde $\phi\in C^{\infty}_c (\mathbb R^2)$:

$$\langle f_{xy},\phi\rangle = \langle f,\phi_{xy}\rangle = \iint_{\mathbb R^2}f(x,y)\cdot \phi_{xy} dx dy = \int_{-\infty}^\infty \int_{x^3}^\infty \phi_{xy}(x,y) dy dx$$ Integrando: $$-\int_{-\infty}^\infty \phi_x(x,x^3) dx = \phi(x,x^3)\bigg|_{-\infty}^\infty =0$$ Como $\phi$es de soporte compacto. ¿Es correcto mi razonamiento? ¿Me estoy perdiendo algo?