¿Los observables deben ser hermitianos solo porque queremos valores propios reales, o es más que eso?

En el nivel más simple, se debe a que los operadores hermitianos, o más precisamente autoadjuntos , tienen un conjunto completo de estados propios. La existencia de un conjunto completo es esencial para la interpretación de probabilidad de QM. Que los autovalores sean reales es de menor importancia. Consideremos, por ejemplo, los operadores$X,Y$del$x$y$y$coordenadas de una partícula. Uno podría querer, por alguna razón, la combinación$x+iy=z$, que son los valores propios de$X+iY$.

Para permitir a los operadores como$X+iY$para ser observables, uno puede relajar la condición autoadjunta para permitir que los operadores normales que se definen sean aquellos que conmutan con su adjunto:$[A,A^\dagger]=0$. En este caso podemos descomponer

En la formulación estándar de la teoría cuántica, los observables son operadores autoadjuntos si se refieren a cantidades físicas cuyos valores se describen mediante números reales . (Una generalización directa, cuando se admiten observables que alcanzan valores complejos, es representarlos en términos de operadores normales y esto no afecta la discusión a continuación).

Hay muchas motivaciones para esta suposición. Uno, que se remonta a von Neumann, se basa en la formulación básica en términos de proposiciones elementales SÍ-NO descritas en términos de proyectores ortogonales, etiquetados por subconjuntos (conjuntos de Borel)$E$de$\mathbb{R}$:$P(E)$.

$P(E)$corresponde a la proposición/observable elemental

"el resultado de la medición del observable considerado pertenece al subconjunto real$E$".

Si$\rho$estado del sistema,$tr(\rho P(E))$es la probabilidad de que el resultado del observable pertenezca a$E$.

Estas familias de proyectores son las medidas valoradas de proyección , PVM, y sus integrales

Este enfoque se puede encontrar en el libro de texto de von Neumann, en el libro de texto de Varadarajan y en otros libros sobre los fundamentos de la teoría cuántica (incluido un par mío).

Más recientemente, se ha presentado una visión más elaborada en términos de operaciones cuánticas. Una razón de esta investigación es el intento de definir una noción realista del estado posterior a la medición. $\rho'$. Las nociones estándar basadas en los postulados de von Neumann, Luders y von Neumann-Luders

Dentro de este nuevo enfoque, los observables elementales SI-NO son reemplazados por los llamados POVM: medidas valoradas en términos de operadores positivos.$\{Q(E)\}_{E\in B(\mathbb{R})}$con$0\leq Q(E) \leq I$.

La génesis física de esta noción es un poco complicada y se basa en un procedimiento de medición indirecta que no destruye el sistema medido. De hecho, se mide, con un procedimiento estándar, un segundo sistema S' (destruyéndolo) que tuvo una interacción dada (conocida) con el sistema inicial S que queremos medir. Si$\rho$es el estado (generalmente mixto) de$S$,$tr(\rho Q(E))$es la probabilidad de que el resultado del observable pertenezca a$E$. El efecto neto sobre S se describe, como se dijo, con un POVM en lugar de un PVM. La ventaja de este procedimiento es que permite controlar también el estado posterior a la medición del sistema S.

Se puede encontrar una descripción rápida de estas ideas en un buen artículo de P. Busch [1].

Volviendo al tema principal, incluso refiriéndose a los POVM, los operadores hermitianos aparecen en todos los casos como consecuencia de los notables resultados de Naimark.

Si$\{Q(E)\}_{E \in B(\mathbb{R})}$es un POVM (normalizado) sobre la línea real$\mathbb{R}$, hay un operador hermitiano $A$asociado a él, la satisfacción única

Estos resultados se pueden encontrar diseminados en la literatura. Una buena (pero muy amplia) referencia es el hermoso libro de Busch y colaboradores [2]. Se puede encontrar un resumen de la interacción de los POVM y los operadores hermitianos en un artículo reciente mío y de N. Drago [3]

NOTA TÉCNICA Si$A: D(A) \to H$es un operador lineal en el espacio de Hilbert$H$,$D(A) \subset H$siendo un subespacio,

(i)$A$es hermitiano si$\langle x| Ay\rangle = \langle Ax| y\rangle$para cada$x,y \in D(A)$;

(ii)$A$es simétrica si es hermítica y$D(A)$es denso

(iii)$A$es autoadjunto si es simétrico y más fuertemente$A=A^\dagger$, dónde$A^\dagger : D(A^\dagger) \to H$es el operador adjunto.

[1] P. Busch, No Information Without Disturbance: Quantum Limitations of Measurement in Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle: An International Conference in Honor of Abner Shimony, Perimeter Institute, Waterloo, Ontario, Canadá, julio 18-21, 2006, Eds. J. Christian, W. Myrvold, Springer-Verlag, 2008, ISSN: 978- 1-4020-9106

[2] P.Busch, P.Lahiti, J.-P.Pellonpää, K.Ylinen, Medición cuántica. saltador (2016)

[3] N. Drago y V.Moretti, La noción de observable y el problema del momento para ∗- álgebras y sus representaciones GNS. Letón. Matemáticas. Física, 110(7), 1711-1758 (2020)

Es conveniente usar números reales para etiquetar los resultados de las mediciones, porque podemos usar esas etiquetas para definir estadísticas de resumen como promedios y desviaciones estándar. Pero no es necesario usar números reales para etiquetar los resultados de las mediciones , ni en el mundo real ni en la teoría cuántica. Puede ser abrumadoramente conveniente en la práctica, pero no es necesario en principio.

Observables de doble propósito

Algunos de los operadores que representan observables, como los operadores de momento angular, tienen un doble propósito. Además de representar algo que podría medirse, los operadores de momento angular también son generadores de rotaciones, razón por la cual son interesantes como observables. Por su papel como generadores de rotaciones, su autoadjunción y su espectro son esenciales, por lo que es natural usar esos operadores tal cual para representar también lo observable.

Otro ejemplo importante de un observable de doble propósito es el observable de energía total, llamado hamiltoniano.$H$. El hamiltoniano genera traslaciones temporales, y para ello debe ser autoadjunto, porque la evolución temporal debe ser unitaria.

Los observables como la energía total y el momento angular total son prominentes en los libros de texto debido a su doble función como generadores de simetrías, pero la mayoría de los observables de interés práctico son observables locales , un concepto que se pierde en modelos demasiado simples como la mecánica cuántica no relativista de una sola partícula. Los observables locales siguen siendo importantes incluso en modelos que no tienen simetrías, porque representan cosas que se pueden medir dentro de regiones finitas de espacio (tiempo). Estos son los observables que principalmente tengo en mente en los siguientes párrafos.

La representación del doble conmutante

En principio, un observable puede representarse mediante el conjunto de posibles resultados de medición, sin ninguna etiqueta numérica. De acuerdo con los principios más básicos de la teoría cuántica, cada uno de esos resultados está representado por un operador de proyección. (Las generalizaciones como el uso de POVM pueden ser convenientes, pero siempre podemos lograr el mismo objetivo al usar operadores de proyección ordinarios en un modelo más completo). La forma más básica de representar un observable es usar un conjunto de operadores de proyección que se conmutan mutuamente, juntos con todos los operadores de proyección que se pueden formar a partir de estos usando sumas y productos y límites. Los operadores de proyección son todo lo que necesitamos para calcular probabilidades y usar la regla de proyección. (La regla de proyección se usa para calcular probabilidades para secuencias cronológicas de resultados de medición,estado inicial basado en nuestro conocimiento de cómo se preparó el sistema físico).

Más precisamente, podemos representar un observable individual como el conjunto de todos los operadores de proyección en un álgebra de von Neumann conmutativa. Eso puede sonar intimidante, pero en realidad es bastante fácil de definir algebraicamente, gracias a algo llamado el teorema del doble conmutador . Dejar$\Omega$ser cualquier colección de operadores que se conmutan mutuamente, junto con sus adjuntos. el conmutante de$\Omega$, denotado$\Omega'$, es el conjunto de todos los operadores que conmutan con todo en$\Omega$. Claramente$\Omega\subset\Omega'$. El doble conmutador de$\Omega$, denotado$\Omega''$, es el conjunto de todos los operadores que conmutan con todo en$\Omega'$. El doble conmutador$\Omega''$es el álgebra de von Neuman más pequeña (autocontenida con respecto a sumas, productos y límites) que contiene todo en$\Omega$. Podemos usar el conjunto de todos los operadores de proyección en$\Omega''$para representar un observable.

Considere el caso$\Omega=\{A\}$, dónde$A$es un solo observable autoadjunto. Los operadores de proyección en$\{A\}''$incluir todos los operadores de proyección involucrados en la medida de valor de proyección (PVM) asociada con la descomposición espectral de$A$. Si el espectro de$A$es discreto, entonces$\{A\}''$incluye todos los operadores de proyección en sus espacios propios. El conjunto de operadores de proyección en$\{A\}''$es la forma filosóficamente "pura" de representar lo observable$A$. Nosotros podríamos tener$\{A\}'' = \{B\}''$incluso si$A\neq B$, lo que significa que los operadores$A$y$B$realmente representan el mismo observable pero con diferentes etiquetas numéricas, porque$\{A\}''$y$\{B\}''$ambos tienen los mismos operadores de proyección: ambos tienen el mismo conjunto de posibles resultados de medición, aunque los operadores$A$y$B$utilizar diferentes formas de etiquetar esos resultados.

Dado que la pregunta mencionaba la idea de valores propios complejos, considere el observable$\{H\}''$, dónde$H$es el hamiltoniano. El hamiltoniano suele ser un operador ilimitado, lo que significa que no está del todo definido en todo el espacio de Hilbert. Está bien, porque los operadores que implementan las traducciones de tiempo son los operadores unitarios.$e^{-iHt}$, que están definidas en todo el espacio de Hilbert, aunque$H$no es. Sus "valores propios" (valores del espectro) son complejos, pero tenemos la identidad

La comodidad también es importante

A la naturaleza no le importa cómo etiquetamos los resultados de una medición, pero la conveniencia sigue siendo una consideración importante. En la práctica, representar un observable como un solo operador$H$suele ser más conveniente que usar todo el conjunto de operadores$\{H\}''$o$\{e^{-iHt}|t\in\mathbb{R}\}$. Las etiquetas numéricas de valor real también son convenientes, por las razones mencionadas anteriormente, entre otras. Por lo tanto, no deberíamos ser demasiado críticos con los libros de texto por elevar la representación de un solo operador hermitiano al estado de un postulado. Esa representación es a la vez suficiente y conveniente. Aún así, saber que no es necesario es fundamentalmente satisfactorio, incluso si nunca explotamos esta libertad en la práctica.

En primer lugar, me gustaría evitar una circularidad semántica, porque alguna literatura define "observable" como un operador hermitiano, un operador autoadjunto u objetos matemáticos similares.

Así que permítanme hacer dos preguntas con un punto de vista más práctico o experimental:

• ¿Los resultados (valores y estadísticas) de una medición en un sistema cuántico deben ser descritos por un operador hermitiano?
• ¿Puede una medida cuyos resultados son números complejos, o vectores, o etiquetas como "sí", "no", ser descrita por un operador hermitiano?

La respuesta a ambas es no: en el caso más general usamos algo llamado "medida con valor de operador positivo", de la cual los operadores hermitianos son casos especiales.

La teoría moderna de la medición cuántica es mucho más general que la basada en los operadores hermitianos. En general, una medida no se representa mediante un operador hermitiano, sino mediante una medida con valor de operador positivo (POVM o POV), también denominada "resolución de identidad" (y varios otros nombres). Matemáticamente es un conjunto de operadores definidos positivos que se suman al operador de identidad.

Los POVM permiten situaciones más generales, como estas:

• Medidas afectadas por ruido del aparato o imperfecciones experimentales.
• Medidas con más resultados que la dimensión del espacio de Hilbert (caso de dimensión finita).
• Mediciones con cualquier tipo de resultado. Es decir, no solo números reales, sino por ejemplo también números complejos, o tuplas de números, o elementos de un espacio vectorial, o resultados categóricos no representados por números: "arriba" y "abajo", "azul" "rojo" " verde", o lo que sea.

Creo que la última generalización es la que te interesa.

Un POVM gestiona estas generalizaciones porque separa la topología (discreta o continua) del espacio de resultados de los valores específicos (numéricos o no) que podemos asociar a los resultados. El POVM, cuando se combina con el estado cuántico (operador de densidad) codifica la probabilidad de cada resultado sin importar cuál es el valor u otra etiqueta de ese resultado.

Si los resultados son numéricos y estamos interesados ​​en estadísticas como la media y la desviación estándar, simplemente podemos obtener esta última combinando las probabilidades dadas por el POVM con los valores numéricos de los resultados.

Los operadores hermitianos son un caso especial de POVM: combinan los operadores que producen las probabilidades de los resultados (los autoproyectores en este caso), con los valores de los resultados en el caso específico donde estos valores son números reales (los autovalores).

Matemáticamente, la teoría de los POVM aún puede basarse en operadores hermitianos, mediante el uso de un sistema auxiliar. Personalmente , veo esto como una posibilidad puramente matemática sin una base física convincente. Al final, siempre debo elegir algo como una "caja negra" en términos de la cual definimos el resto, y prefiero usar las matemáticas POVM como punto de partida.

Permítanme agregar que aquí estamos hablando solo de las probabilidades y estadísticas de los resultados de una medición, no del estado (si lo hay) que se produce después de la medición. Hoy también tenemos una visión más general de eso, que está conectado a los POVM. Vea los textos a continuación para este tema.

Buenos textos para consultar sobre POVMs, su motivación, aplicaciones experimentales (que son muchas), casos especiales, etc., son por ejemplo:

• Bengtsson, Zyczkowski: Geometría de los estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico , §10.1.
• Peres: Teoría cuántica: conceptos y métodos , p. 282.
• de Muynck: Fundamentos de la mecánica cuántica, un enfoque empirista , §3.3.
• Holevo: Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica , cap. 1.

Las otras respuestas están un poco por encima de mi nivel salarial, pero siempre he escuchado esta historia:

Una transformación física$U : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$del espacio de estados de Hilbert$\mathcal{H}$tiene que ser unitario para que se mantenga la normalización de los estados. Supongamos, además, que esta transformación depende suavemente de los parámetros$x_\alpha$con$U(0) = 1$. Entonces

Ejecutar el argumento a la inversa puede ser más convincente. En la teoría clásica, cada observable (función en el espacio de fase) genera localmente un flujo físico de estados. Supongamos que queremos que esto sea cierto en la teoría cuántica. Los únicos candidatos para observables son funciones lineales en el espacio de Hilbert (no estoy seguro de por qué deben ser lineales). Si queremos que estos observables generen un flujo físico de estados, deben ser (hasta la multiplicación por$i$) Hermitiano. Si los observables no son hermitianos, el flujo que generan no preservará la normalización de estados.

Dado un espacio de Hilbert separable que subyace en un sistema cuántico, los observables en este sistema son los operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. La razón por la que deben ser autoadjuntos es que el espectro de un operador es real si, y solo si, el operador es autoadjunto. El espectro de un operador es el conjunto de posibles valores de medición que puede esperar medir en un experimento. Los valores propios de un operador son un subconjunto de su espectro.