¿Por qué solo se pueden medir las cosas reales?

I) Bueno, uno puede identificar un observable de valor complejo con un operador normal

$$\tag{1} A^{\dagger}A~=~AA^{\dagger}.$$

una versión$^1$del teorema espectral establece que un operador$A$es ortonormalmente diagonalizable iff$A$es un operador normal.

Por lo tanto, los operadores normales son el único tipo de operadores de los que podemos extraer medidas consistentemente [es decir, estados propios y valores propios (posiblemente complejos)].

II) Pero observe que un operador normal

$$\tag{2} A~=~B+iC$$

puede únicamente$^2$escribirse como la suma de dos operadores autoadjuntos conmutantes

$$\tag{3} B^{\dagger}~=~B, \qquad C^{\dagger}~=~C, \qquad [B,C]~=~0.$$

($B$y$C$son el operador análogo de descomponer un número complejo$z=x+iy\in\mathbb{C}$en parte real e imaginaria$x,y\in\mathbb{R}$.) Por el contrario, dos operadores autoadjuntos conmutantes$B$y$C$se puede empaquetar en un operador normal (2). Resaltamos que la conmutatividad de$B$y$C$codifica con precisión la condición de normalidad (1).

Dado que los operadores autoadjuntos$B$y$C$conmutan, pueden ser diagonalizados ortonormalmente simultáneamente, es decir, el par correspondiente$(B,C)$de observables de valor real pueden medirse simultáneamente. Este hecho es consistente con el principio de incertidumbre de Heisenberg aplicado a los operadores$B$y$C$.

Llegamos a la conclusión de que un operador normal no conduce a nada fundamentalmente nuevo que no podría haber sido cubierto por un par conmutable de observables de valor real estándar, es decir, operadores autoadjuntos. Por esta razón, la posibilidad de utilizar operadores normales como observables complejos rara vez se menciona cuando se discuten los postulados de la mecánica cuántica .

Para obtener más información sobre los observables de valor real, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

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$^1$Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

$^2$Las fórmulas únicas son$B=\frac{A+A^{\dagger}}{2}$y$C=\frac{A-A^{\dagger}}{2i}$.

Como estructura matemática, el campo de los números complejos no admite una relación de orden que sea una extensión del orden que tenemos en$\mathbb{R}$.

Esto significa que no hay absolutamente ninguna forma de decir si$5+3i$es más grande o más pequeño que$5+6i$por ejemplo. Simplemente sabemos que no es igual y tenemos que detenernos aquí.

Por lo tanto, es físicamente muy difícil (realmente imposible) comparar "observables" que tengan como valores propios números complejos.

Ya no podíamos decir qué partícula tiene una masa mayor, una energía menor y así sucesivamente.

Creo que tomar el campo real como el campo principal en el que los resultados de la medida toman valores es solo una cuestión de conveniencia. Podría intentar crear una especie de mecánica cuántica con valores propios complejos, pero luego ya no podría hacer más experimentos y su modelo se vuelve extremadamente menos predictivo.

De todos modos, he leído en The Road to Reality de Penrose que algunos físicos consideraban como campos numéricos algo así como el cíclico $\mathbb{Z}_p$con$p$primo y extremadamente grande. Como no está claro si esto puede conducir a una nueva física, simplemente nos quedamos con$\mathbb{R}$.

Eso es todo, hasta donde entiendo el problema.

Los números imaginarios se pueden representar como pares de números reales. También puede crear un dispositivo que mezcle los resultados de medición de dos reales a nivel de hardware para producir una "amplitud" y una "fase" complejas como resultados, que además podría denominar como medir un número complejo.

De manera más general, cualquier medición finalmente lee los valores en los indicadores de sus instrumentos. Esos son números, por lo tanto reales. Sin embargo, también pueden ser conjuntos (arrays) de reales, como es el caso de las cámaras, por ejemplo. Entonces, quizás, la declaración más general sería que uno puede medir cantidades, que son expresables como un conjunto de números reales.

Dado que los números complejos son un término bastante abstracto y no tienen representación física, aún es posible verlos, aunque solo la parte imaginaria o solo la parte real de alguna medida no dará información completa. Solo el número complejo completo representa una información completa.

Ahora, dije que es posible medir realmente valores imaginarios y reales. Si bien no se trata de mecánica cuántica, la modulación QA es un buen ejemplo de cómo se pueden medir realmente partes imaginarias y reales de una señal.

Al menos la energía compleja y el tiempo imaginario se utilizan en la mecánica cuántica. Energía compleja para describir procesos no estacionarios. El tiempo imaginario se usa en el libro de Landau Lifshits, Volumen 3, Problema 3 al párrafo 77. Al mismo tiempo, se usan palabras como: “El valor imaginario de un momento en el tiempo$\tau_0$corresponde a la clásica impracticabilidad del proceso”

$$W=\exp\left[-2\mathrm{Im}\left(\int_{\tau}^{\tau_0}\frac{4F^2}{\Omega^2}\sin^2\Omega u\mathrm{d}u+\tau_0\right)\right]$$ Pero para utilizar los valores propios complejos de los operadores de la mecánica cuántica, es necesario utilizar operadores no autoadjuntos, y entonces los valores propios pueden resultar complejos. En el espacio complejo, los operadores de energía y momento son operadores generales, no autoadjuntos. $$\hat H=\sum_{k=1}^3 -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z_k^2},z_k=\mathrm{Re}\,z_k+i \mathrm{Im}\,z_k$$ $$\hat p_r=-i\hbar(\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})$$ La función propia de la parte radial del operador de cantidad de movimiento en el espacio tridimensional es igual a$\psi=exp(ip_r r/\hbar)/r$. Los valores propios de estos operadores pueden ser complejos. Al escribir una solución para la función de onda en el plano complejo hay un problema. Cuando se usa el espacio real, existe una solución sin amortiguamiento solo con coordenadas reales. De manera similar, en un plano complejo con un valor propio complejo, existe una solución sin amortiguamiento en cierta fase de la coordenada compleja. Necesitamos pensar en el significado físico de la solución compleja. En hidrodinámica, el significado físico de la parte imaginaria es la desviación estándar. En mecánica cuántica, aparentemente también. Necesitas medir el término constante descrito por la parte real y el variable, el término que se desvanece descrito por la parte imaginaria. La energía y el momento complejos describen la localización en el tiempo y en el espacio, respectivamente, de la energía y el momento. La parte imaginaria del valor de la energía compleja se determina a partir de la vida útil del sistema. La parte imaginaria del impulso se determina a partir del valor complejo conocido de la energía y las ecuaciones$E^2=p^2c^2+m^2c^4$.

Bueno, los "números imaginarios" son solo eso; imaginario. Los inventamos para permitir la raíz cuadrada de un número negativo. Del mismo modo, inventamos números complejos.

El problema NO es con el número imaginario o complejo. La dificultad está en la interpretación que ELEGIMOS utilizar para un número imaginario o complejo.

Por ejemplo, en problemas de circuitos eléctricos de CA, consideramos que multiplicar por -1 es el equivalente a una rotación de 180 grados de un vector que representa, por ejemplo, un voltaje. Entonces es solo un pequeño salto sugerir multiplicar por la raíz cuadrada de -1 (i o j) para que sea equivalente a rotar el vector la mitad de 180, o 90 grados, ya que multiplicar dos veces por i (o j) nos da el misma rotación de dos veces 90 grados o 180 grados.

Entonces, las matemáticas no son más que una convención para describir una rotación vectorial de 90 grados, o una combinación de dos vectores en ángulo recto. No es más misterioso que los alemanes usando una letra mayúscula para TODOS los sustantivos. Es solo la forma en que lo hacen.

Así que la REALIDAD de los números imaginarios, o complejos, no es más que nuestra definición de cómo NOSOTROS LOS HUMANOS los interpretamos o su uso. NO existe una razón misteriosa universal en absoluto.

En realidad, puedes medir números imaginarios midiendo por separado la parte real y la parte imaginaria. Sin embargo, esto solo es posible en la mecánica clásica. En la mecánica cuántica, no es posible medir las dos partes simultáneamente, porque la primera medición cambiaría necesariamente el resultado de la segunda medición, como bien explica Dirac en su libro:

"Uno podría pensar que podría medir una variable dinámica compleja midiendo por separado sus partes real e imaginaria pura. Pero esto implicaría dos mediciones o dos observaciones, lo que estaría bien en la mecánica clásica, pero no en la mecánica cuántica, donde dos observaciones en general interfieren entre sí - en general no es permisible considerar que dos observaciones se pueden hacer exactamente simultáneamente, y si se hacen en rápida sucesión, la primera generalmente perturbará el estado del sistema e introducirá una indeterminación que afectará el segundo." (PAM Dirac, Los principios de la mecánica cuántica, §10, p.35)