Encontrar los símbolos de Christoffel correctos en un espacio-tiempo 2+1D

Question

Encontrar los símbolos de Christoffel correctos en un espacio-tiempo 2+1D

Josué

Estoy tratando de calcular los Símbolos de Christoffel en un espacio-tiempo 2+1D con la siguiente métrica:

d s^{2} = {norte}^{2} (\vec{r}) C^{2} d t^{2} - ϕ (\vec{r}) (d X^{1})^{2} - ϕ (\vec{r}) (d X^{2})^{2}

$ds^2 = N^2(\vec r)c^2dt^2-\phi(\vec r)(dx^1)^2-\phi(\vec r)(dx^2)^2$

Para encontrar los símbolos de Christoffel necesito invertir el tensor métrico $g_{\mu\nu}$ a $g^{\mu\nu}$ .
¿Tengo razón al suponer que este último tensor solo tiene elementos distintos de cero en la diagonal y que estos son los elementos correspondientes del tensor métrico covariante invertido? (es decir $g^{00} = \frac{1}{g_{00}}$ etc.)

Porque si eso es correcto, entonces no sé cómo se supone que debo encontrar los símbolos de Christoffel correctos.

Por ejemplo, al calcular $\Gamma^{2}_{\hphantom{2}12}$ yo obtengo $\frac{1}{2(-\phi)}\frac{\partial (-\phi)}{\partial x^1}$ que aparentemente tiene 1 menos demasiado.

Fideos de soba

¿Por qué crees que hay un menos demasiado? En caso de que le moleste, los símbolos Christoffel de métricas diagonales aún pueden tener entradas "no diagonales" (es decir, es posible tener

Γ_{μ ν}^{σ} \neq 0

$\Gamma^\sigma_{\hphantom{2}\mu\nu}\neq 0$ para

μ \neq ν

$\mu\neq\nu$ ).

N0va

Obtengo lo mismo para

Γ_{12}^{2}

$\Gamma^2_{12}$ . Tu métrica inversa es correcta. ¿Está seguro de que su fuente establece un signo negativo para

Γ_{12}^{2}

$\Gamma^2_{12}$ ?

Γ_{22}^{1}

$\Gamma^1_{22}$ es

- \frac{1}{2 ϕ} \frac{\partial ϕ}{\partial x^{1}}

$-\frac{1}{2\phi}\frac{ \partial \phi}{ \partial x^1}$ Si no me equivoco. ¿Están utilizando la convención estándar para los índices?

N0va

El símbolo de Christoffel del primer tipo.

Γ_{212} = - \frac{1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial x^{1}}

$\Gamma_{212}=-\frac{1}{2}\frac{\partial \phi}{\partial x^1}$ tiene un menos. Pero este no tiene el factor métrico.

g^{22}

$g^{22}$ en eso.

Marion

Su métrica no tiene elementos fuera de la diagonal. Aún así, es un buen ejercicio asumir la métrica inversa más general, digamos, {{A,B},{C,D}} multiplíquelo con su métrica e insista en que el resultado dé la matriz unitaria.

Respuestas (1)

Encontrar los símbolos de Christoffel correctos en un espacio-tiempo 2+1D

¿Por qué crees que hay un menos demasiado? En caso de que le moleste, los símbolos Christoffel de métricas diagonales aún pueden tener entradas "no diagonales" (es decir, es posible tener $\Gamma^\sigma_{\hphantom{2}\mu\nu}\neq 0$ para $\mu\neq\nu$ ).
Obtengo lo mismo para $\Gamma^2_{12}$ . Tu métrica inversa es correcta. ¿Está seguro de que su fuente establece un signo negativo para $\Gamma^2_{12}$ ? $\Gamma^1_{22}$ es $-\frac{1}{2\phi}\frac{ \partial \phi}{ \partial x^1}$ Si no me equivoco. ¿Están utilizando la convención estándar para los índices?
El símbolo de Christoffel del primer tipo. $\Gamma_{212}=-\frac{1}{2}\frac{\partial \phi}{\partial x^1}$ tiene un menos. Pero este no tiene el factor métrico. $g^{22}$ en eso.
Su métrica no tiene elementos fuera de la diagonal. Aún así, es un buen ejercicio asumir la métrica inversa más general, digamos, {{A,B},{C,D}} multiplíquelo con su métrica e insista en que el resultado dé la matriz unitaria.

jamals · Answer 1

Tomando el sistema de coordenadas como $\{t,x,y\}$ , con métrica,

d s^{2} = norte (\vec{r})^{2} d t^{2} - ϕ (\vec{r}) (d X^{2} + d y^{2})

$ds^2 = N(\vec r)^2 dt^2 - \phi(\vec r)(dx^2+ dy^2)$

Supongo $N(\vec r)$ para significar que $N =N(x,y)$ , es decir, sólo existe una dependencia espacial. Calcular los símbolos de Christoffel es sencillo y simplemente requiere aplicar la fórmula:

$\Gamma^t_{tx} = N^{-1}\partial_x N, \Gamma^t_{ty} = N^{-1}\partial_y N$ . $\Gamma^x_{tt} = \frac{N}{\phi}\partial_x N, \Gamma^x_{xx} = - \Gamma^x_{yy} = \frac{1}{2\phi}\partial_x\phi.$ $\Gamma^{x}_{xy} = \frac{1}{2\phi}\partial_y \phi$ . Entonces para $\Gamma^y_{ab}$ la matriz es la misma, pero con todas las derivadas wrt $x \leftrightarrow y$ . La curvatura escalar del espacio es,

R = \frac{1}{norte ϕ} (2 \nabla^{2} norte) - norte [(\partial_{i} ϕ) (\partial^{i} ϕ) - ϕ \nabla^{2} ϕ]

$R = \frac{1}{N\phi} \left( 2\nabla^2 N\right) - N\left[(\partial_i\phi)(\partial^i \phi) - \phi\nabla^2 \phi\right]$

donde está el laplaciano $\mathbb R^2$ y $i=x,y$ . Todos los demás tensores de curvatura son bastante complicados en términos de $N$ y $\phi$ .

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Josué

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