Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

Question

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

usuario3321289

Estoy leyendo la Relatividad General de Hartle y me encontré con esta pregunta:

Considere la siguiente transformación de coordenadas a partir de coordenadas rectangulares $(x,y)$ , etiquetando puntos en el plano a un nuevo conjunto de coordenadas $(m,n)$ :
$X = metro norte,$ $x = mn,$ $y = (1 / 2) ({metro}^{2} - {norte}^{2}) .$ $y = (1/2)(m^2 - n^2).$ (c) ¿Las curvas de m constante y n constante se cortan en ángulo recto?

Determiné que las curvas de constante $m$ son trayectorias ortogonales a las curvas de constante $n$ , pero la respuesta en el manual de soluciones simplemente dice "Las curvas se intersecan en ángulos rectos porque no hay términos cruzados $dmdn$ en la métrica". No entiendo de dónde viene esto. ¿Qué quiere decir? ¿Dónde puedo aprender más sobre esto? Me imagino que mi método de trayectorias ortogonales se volverá difícil de manejar con más variables.

Respuestas (2)

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

celtschk · Answer 1

Bueno, puedes simplemente calcular la métrica:

\begin{aligned} d s^{2} & = d X^{2} + d y^{2} \\ = d (metro norte)^{2} + \frac{1}{2} d ({metro}^{2} - {norte}^{2}) \\ = (metro d norte + norte d metro)^{2} + \frac{1}{2} (2 metro d metro - 2 norte d norte)^{2} \\ = {metro}^{2} d {norte}^{2} + 2 metro norte d metro d norte + {norte}^{2} d {metro}^{2} + ({metro}^{2} d {metro}^{2} + {norte}^{2} d {norte}^{2} - 2 metro norte d metro d norte) \\ = ({metro}^{2} + {norte}^{2}) (d {metro}^{2} + d {norte}^{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm ds^2 &= \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2\\ &= \mathrm d(mn)^2 + \frac12\mathrm d(m^2 - n^2)\\ &= (m\,\mathrm dn + n\,\mathrm dm)^2 + \frac12(2m\,\mathrm dm - 2n\,\mathrm dn)^2\\ &= m^2\,\mathrm dn^2 + 2mn\,\mathrm dm\,\mathrm dn + n^2\,\mathrm dm^2 + (m^2\,\mathrm dm^2 + n^2\,\mathrm dn^2 - 2mn\,\mathrm dm\,\mathrm dn)\\ &= (m^2+n^2)(\mathrm dm^2 + \mathrm dn^2) \end{aligned}$ Como puedes ver, el término mixto

d m d n

$\mathrm dm\,\mathrm dn$ cancela por lo que la métrica es diagonal. Esto significa que los vectores

\partial_{m}

$\partial_m$ doble a

d m

$\mathrm dm$ y

\partial_{n}

$\partial_n$ doble a

d n

$\mathrm dn$ son ortogonales, ya que

d m (\partial_{n}) = d n (\partial_{m}) = 0

$\mathrm dm(\partial_n)=\mathrm dn(\partial_m)=0$ . y por lo tanto

d m^{2} (\partial_{m}, \partial_{n}) = d m (\partial_{m}) d m (\partial_{n}) = 0

$\mathrm dm^2(\partial_m,\partial_n) = \mathrm dm(\partial_m)\mathrm dm(\partial_n)=0$ y análogamente para

d n^{2}

$\mathrm dn^2$ , y por lo tanto

d s^{2} (\partial_{m}, \partial_{n}) = 0

$ds^2(\partial_m,\partial_n)=0$ . Si hubiera un término proporcional a

d m d n

$\mathrm dm\,\mathrm dn$ , entonces esto daría

d m (\partial_{m}) d n (\partial_{n}) \neq 0

$\mathrm dm(\partial_m)\mathrm dn(\partial_n)\ne 0$ , y por lo tanto los vectores no serían ortogonales.

Maravilloso, gracias. Pude calcular la métrica y vi que los términos cruzados desaparecieron, pero no pude decirles qué significaba. ¿Qué tema me enseñaría más sobre las matemáticas detrás de esto? El libro de Hartle es de mi nivel, pero siento que me falta algo de matemática para entenderlo realmente.
@user3321289: El campo matemático que trata tales preguntas se llama geometría diferencial.

Valter Moretti · Answer 2

d X = norte d metro + metro d norte, d y = metro d metro - norte d norte

$dx= ndm + m dn\:,\quad dy = mdm -ndn$ por eso

d X^{2} + d y^{2} = {norte}^{2} d {metro}^{2} + {metro}^{2} d {norte}^{2} + 2 norte metro d norte d metro + {metro}^{2} d {metro}^{2} + {norte}^{2} d {norte}^{2} - 2 norte metro d norte d metro .

$dx^2 + dy^2 = n^2 dm^2 + m^2 dn^2 + 2nm dn dm + m^2 dm^2 + n^2 dn^2 - 2nm dn dm \:.$ Concluimos que:

d s^{2} = ({norte}^{2} + {metro}^{2}) (d {metro}^{2} + d {norte}^{2})

$ds^2 = (n^2 +m^2)(dm^2 + dn^2)$ y no hay

d n d m

$dn\: dm$ término en la métrica como se indica.

¡Demasiado tarde! celtschk publicó la respuesta antes que yo :<

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