¿Cómo se calcula la derivada covariante de segundo orden de un escalar?

¿Qué es la derivada covariante de segundo orden?

∇ i ∇ j F ( r )
en términos de r , θ , gramo ( r ) y derivada parcial, dado que la métrica toma la forma
d s 2 = d r 2 + gramo ( r ) d θ 2
y F es una función escalar de r ?

Para los cartesianos, sé que las derivadas covariantes se reducen a derivadas parciales. Sin embargo, dado que esto está en coordenadas polares...

Respuestas (1)

La derivada covariante de un escalar es solo su gradiente porque los escalares no dependen de sus vectores base:

∇ j F = ∂ j F

Ahora es un vector dual, por lo que la siguiente derivada covariante dependerá de la conexión. Asumiendo la conexión Levi-Civita, es decir, los símbolos de Christoffel, la derivada covariante será:

∇ i ∇ j F = ∇ i ∂ j F = ∂ i ∂ j F − ∂ k F   Γ i j k

Muchas gracias, elfmotat. Tengo otra pregunta: ¿la conexión Levi-Civita no está integrada en la definición de la derivada covariante? ¿Se requiere una suposición adicional? - Puede que me haya confundido algo. ¡Gracias de nuevo!
En GR, se supone que la conexión está libre de torsión, por lo que la conexión Levi-Civita es todo lo que se analiza en la mayoría de los libros de texto introductorios. Sin embargo, son posibles otras conexiones, y la derivada covariante depende del tipo de conexión. Sin embargo, si solo estás aprendiendo GR, entonces realmente no necesitas preocuparte por nada de eso.
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