Demostrar que la conexión es compatible con la métrica

Question

Demostrar que la conexión es compatible con la métrica

Señor Schrödinger

Estoy tratando de demostrar que la conexión es compatible con la métrica, para hacer esto, debo evaluar

\nabla_{σ} {gramo}^{m v} = \partial_{σ} {gramo}^{m v} + Γ_{σ λ}^{m} {gramo}^{λ v} + Γ_{σ λ}^{v} {gramo}^{m λ} = 0.

$\nabla_{\sigma} g^{\mu \nu} = \partial_{\sigma}g^{\mu \nu} +\Gamma^{\mu}_{\sigma \lambda}g^{\lambda \nu}+\Gamma^{\nu}_{\sigma \lambda}g^{\mu \lambda} = 0.$

El espacio-tiempo que estoy considerando es el siguiente elemento lineal estático esféricamente simétrico general

d s^{2} = - A (r) d t^{2} + B (r)^{- 1} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}) .

$ds^{2} = -A(r)dt^{2}+B(r)^{-1}+ r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta \ d\phi^{2}) \,\, .$

Cuál es mi avance hasta ahora:

Tengo que evaluar los símbolos de Christoffel, entonces procedo, por ejemplo,

Γ_{00}^{0} = - \frac{1}{2} A (r)^{- 1} (0 + 0 - 0) = 0,

$\Gamma^{0}_{00} = -\frac{1}{2}A(r)^{-1}(0+0-0) = 0 \,\, ,$

Mi duda es: ¿Necesito evaluar todas las componentes de la derivada covariante? $\nabla_{\sigma}g^{\mu \nu}$ a la conexión ser compatible con la métrica?

¿Cuál es la relación entre el índice libre $\sigma$ de la derivada covariante y el índice libre $\lambda$ del símbolo de Christoffel? Ambos van de 0 a 3?

Mi dificultad radica en la evaluación de cada componente de esta ecuación tensorial, una vez que hay muchos índices me confundo, ¿cómo realizar la evaluación de estos componentes? ¿Podría mostrarme el procedimiento para evaluar al menos un componente para usar como ejemplo?

Michael Seifert

La expresión que tienes es incorrecta. Debería ser

\nabla_{σ} g^{μ ν} = \partial_{σ} g^{μ ν} + Γ^{μ}_{σ λ} g^{λ ν} + Γ^{ν}_{σ λ} g^{μ λ} .

$\nabla_\sigma g^{\mu \nu} = \partial_\sigma g^{\mu \nu} + \Gamma ^{\mu} {}_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} + \Gamma ^{\nu} {}_{\sigma \lambda} g^{\mu \lambda}.$

Señor Schrödinger

@MichaelSeifert Gracias, voy a actualizar la pregunta, ¿podría responderme usando la expresión correcta? ¡Me gustaría votar si es una buena respuesta!

Masón

@WaynerKlën Puedo escribir una respuesta para usted, pero su pregunta está incompleta. ¿Tiene una métrica específica de la que desea tomar la derivada covariante? ¿Quieres hacer esto en general? Si tiene una métrica específica, ¿ya calculó los símbolos de Christoffel para esa métrica?

Señor Schrödinger

Hola @Mason, estoy trabajando con un estacionario general esféricamente simétrico.

d s^{2} = - A (r) d t^{2} + B (r)^{- 1} d r^{2} + d Ω^{2}

$ds^{2} = -A(r)dt^{2}+B(r)^{-1}dr^{2}+d\Omega^{2}$ , dónde

d Ω^{2} = r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})

$d\Omega^{2} = r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2})$ . He trabajado en los símbolos de Christoffel, pero no estoy seguro de si tengo que calcularlos todos o solo algunos, es debido a los índices gratuitos, en realidad no puedo igualar los índices gratuitos de los símbolos de Christoffel para eso de la derivada covariante, ¿tiene sentido para ti?

Masón

Sí, creo que entiendo. Voy a escribir una respuesta ahora. Creo que debería editar su pregunta para que proporcione la métrica con la que está trabajando o simplemente diga "¿cómo hago esto dado que ya tengo la forma de la métrica y los símbolos de Christoffel?"

Masón

@WaynerKlën En realidad, por su comentario, no estoy seguro de haberlo entendido correctamente. ¿Sabes cómo calcular los símbolos de Christoffel? Like si te pregunto que

Γ_{00}^{0}

$\Gamma^0_{00}$ era, podrías calcularlo?

Señor Schrödinger

@Mason, ¡Editaré mi pregunta y proporcionaré todos sus puntos!

Señor Schrödinger

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Respuestas (1)

Demostrar que la conexión es compatible con la métrica

La expresión que tienes es incorrecta. Debería ser $\nabla_\sigma g^{\mu \nu} = \partial_\sigma g^{\mu \nu} + \Gamma ^{\mu} {}_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} + \Gamma ^{\nu} {}_{\sigma \lambda} g^{\mu \lambda}.$
@MichaelSeifert Gracias, voy a actualizar la pregunta, ¿podría responderme usando la expresión correcta? ¡Me gustaría votar si es una buena respuesta!
@WaynerKlën Puedo escribir una respuesta para usted, pero su pregunta está incompleta. ¿Tiene una métrica específica de la que desea tomar la derivada covariante? ¿Quieres hacer esto en general? Si tiene una métrica específica, ¿ya calculó los símbolos de Christoffel para esa métrica?
Hola @Mason, estoy trabajando con un estacionario general esféricamente simétrico. $ds^{2} = -A(r)dt^{2}+B(r)^{-1}dr^{2}+d\Omega^{2}$ , dónde $d\Omega^{2} = r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2})$ . He trabajado en los símbolos de Christoffel, pero no estoy seguro de si tengo que calcularlos todos o solo algunos, es debido a los índices gratuitos, en realidad no puedo igualar los índices gratuitos de los símbolos de Christoffel para eso de la derivada covariante, ¿tiene sentido para ti?
Sí, creo que entiendo. Voy a escribir una respuesta ahora. Creo que debería editar su pregunta para que proporcione la métrica con la que está trabajando o simplemente diga "¿cómo hago esto dado que ya tengo la forma de la métrica y los símbolos de Christoffel?"
@WaynerKlën En realidad, por su comentario, no estoy seguro de haberlo entendido correctamente. ¿Sabes cómo calcular los símbolos de Christoffel? Like si te pregunto que $\Gamma^0_{00}$ era, podrías calcularlo?
@Mason, ¡Editaré mi pregunta y proporcionaré todos sus puntos!

Masón · Answer 1

Dada una métrica y los símbolos de Christoffel, queremos mostrar que

\nabla_{σ} {gramo}^{m v} = \partial_{σ} {gramo}^{m v} + Γ_{σ λ}^{m} {gramo}^{λ v} + Γ_{σ λ}^{v} {gramo}^{m λ} = 0

$\begin{equation} \nabla_\sigma g^{\mu \nu} = \partial_\sigma g^{\mu \nu} + \Gamma^\mu_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} + \Gamma^\nu_{\sigma \lambda} g^{\mu \lambda} = 0 \end{equation}$

En primer lugar, si queremos, podemos simplemente nuestras vidas aquí al darnos cuenta de que $g^{\mu \nu} = g^{\nu \mu}$ y por lo tanto solo necesitamos mostrar que

\partial_{σ} {gramo}^{m v} + 2 Γ_{σ λ}^{m} {gramo}^{λ v} = 0 .

$\begin{equation} \partial_\sigma g^{\mu \nu} + 2 ~\Gamma^\mu_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} = 0~~. \end{equation}$

Sin embargo, creo que probablemente quieras más instrucciones con la notación de índice, así que no haré esa simplificación.

Así que digamos que quieres calcular el $0,0,0$ componente de este tensor, es decir, establecemos $\sigma = \mu = \nu = 0$ entonces tenemos

\nabla_{0} {gramo}^{00} = \partial_{0} {gramo}^{0} + Γ_{0 λ}^{0} {gramo}^{λ 0} + Γ_{0 λ}^{0} {gramo}^{0 λ} .

$\begin{equation} \nabla_0 g^{00} = \partial_0 g^{0} + \Gamma^0_{0 \lambda} g^{\lambda 0} + \Gamma^0_{0 \lambda} g^{0 \lambda}~. \end{equation}$

Pero ahora tenemos dos conjuntos de índices repetidos, por lo que debemos sumar ambos de forma independiente, así que lo hacemos así.

\begin{aligned} \nabla_{0} {gramo}^{00} & = \partial_{0} {gramo}^{0} + Γ_{00}^{0} {gramo}^{00} + Γ_{01}^{0} {gramo}^{10} + Γ_{02}^{0} {gramo}^{02} + Γ_{03}^{0} {gramo}^{03} + Γ_{0 λ}^{0} {gramo}^{0 λ} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_0 g^{00} &= \partial_0 g^{0} + \Gamma^0_{0 0}g^{00} + \Gamma^0_{0 1}g^{10} + \Gamma^0_{0 2}g^{02} + \Gamma^0_{0 3}g^{03} + \Gamma^0_{0 \lambda} g^{0 \lambda} \end{align}$ Ahora solo tenemos un conjunto de índices contraídos, así que también los expandimos.

\begin{aligned} \nabla_{0} {gramo}^{00} = \partial_{0} {gramo}^{00} + Γ_{00}^{0} {gramo}^{00} + Γ_{01}^{0} {gramo}^{10} + Γ_{02}^{0} {gramo}^{20} + Γ_{03}^{0} {gramo}^{30} + Γ_{00}^{0} {gramo}^{00} + Γ_{01}^{0} {gramo}^{01} + Γ_{02}^{0} {gramo}^{02} + Γ_{03}^{0} {gramo}^{03} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_0 g^{00} = \partial_0 g^{00} + \Gamma^0_{0 0}g^{00} + \Gamma^0_{0 1}g^{10} + \Gamma^0_{0 2}g^{20} + \Gamma^0_{0 3}g^{30} + \Gamma^0_{0 0}g^{00} + \Gamma^0_{0 1}g^{01} + \Gamma^0_{0 2}g^{02} + \Gamma^0_{0 3}g^{03} \end{align}$

Ahora dados todos los componentes de $\mathbf{\Gamma}$ y $\mathbf{g}$ ¡podemos conectar los números y mostrar que esto se evalúa (con suerte) a cero! Esto ahora se puede repetir para cada valor de $\sigma,~ \mu$ y $\nu$ .

Espero que esto ayude, si no es así o si hay algo más que desee aclarar, ¡pregunte!

Editar:

Acabo de ver tu edición, así que responderé esas preguntas adicionales aquí:

¿Necesito evaluar todos los componentes de la derivada covariante [de la métrica] para que la conexión sea compatible con la métrica?

Sí, así lo creo.

¿Cuál es la relación entre el índice libre σ de la derivada covariante y el índice libre λ del símbolo de Christoffel? Ambos van de 0 a 3?

Los dos índices no están efectivamente relacionados. $\lambda$ es un índice ficticio que denota un producto escalar entre el símbolo de Christoffel y la métrica (inversa).

¿No falta un índice más en la derivada parcial del tensor métrico, es decir, no debería ser $\partial_{0}g^{00}$ ?
@HerrSchrödinger Sí, tienes razón. ¡Solo un error tipográfico! Aparte de eso, ¿tiene esto sentido?
¡Sí, tiene sentido! ¡Por ahora es solo esto! ¡Gracias @Mason!
He actualizado mi respuesta en respuesta a su actualización por cierto

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