¿Cómo funciona realmente la congruencia?

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¿Cómo funciona realmente la congruencia?

geometría
triangulos
Matemáticas
Geometría euclidiana
congruencias-geometría

Ovi

estaba haciendo el siguiente problema

Un triángulo isóceles es un triángulo en el que dos lados son iguales. Demostrar que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

Dibujé este diagrama (perdón por la imagen grande):

nombra el triangulo $ABC$ tal que $AB=BC$ . La bisectriz del ángulo de $\angle B$ línea de intersección $AC$ en el punto $D$ . Ahora tenemos los dos triángulos. $ABD$ y $CBD$ . Ambos comparten lado $BD$ , $m\angle ABD = m\angle CBD$ , y por hipótesis $AB=BC$ . entonces los dos triángulos son congruentes por $SAS$ .

Entonces, lo que sé hasta ahora es que existe una manera de colocar el triángulo $ABD$ en triangulo $BDC$ para que se superpongan perfectamente. De la imagen está claro que esto podría lograrse reflejando el triángulo $BDC$ sobre la linea $BD$ , lo que implicaría la conclusión deseada. Pero, ¿es este tipo de argumento "a partir de la imagen" realmente válido/riguroso? ¿Qué pasa si la forma real de hacer que los triángulos se superpongan es poner lado $BD$ de triangulo $BDC$ de lado $AB$ de triangulo $ABD$ ?

dxiv

But is this sort of "from the picture" argument really valid/rigorous?No, no lo es a menos que lo respalde con alguna prueba más formal. En este caso, recuerda que la igualdad de los triángulos demostrada anteriormente implica que

A D = D C

$AD=DC$ y

∠ B D A = ∠ B D C = 90^{\circ}

$\angle BDA=\angle BDC = 90^\circ\,$ , luego, usando esas igualdades, podría justificar el argumento " voltear " (aunque en ese momento ya sabe que

∠ A = ∠ C

$\angle A = \angle C$ por la misma igualdad triangular).

dxiv

FWIW la prueba más directa es que

△ B A C = △ B C A

$\triangle BAC = \triangle BCA$ por

S S S

$SSS\,$ (o

S A S

$SAS\,$ ), por lo tanto los ángulos correspondientes son iguales

∠ B A C = ∠ B C A

$\angle BAC = \angle BCA$ .

sangre de pulga

Déjame preguntarte, ¿cómo se ve claramente en la imagen que puedes hacer eso? Solo puede estar claro si de alguna manera está seguro de que AD = DC y AB = AC, BD = BD

∠ A = ∠ C; ∠ B A D = ∠ C A D; ∠ B D A = ∠ C D A

$\angle A = \angle C; \angle BAD =\angle CAD; \angle BDA = \angle CDA$ etc. ¿Puedes estar seguro de eso? Si puedes, entonces sí. Si no entonces, no. Pero si es así, debe poder decir por qué.

Respuestas (2)

¿Cómo funciona realmente la congruencia?

But is this sort of "from the picture" argument really valid/rigorous?No, no lo es a menos que lo respalde con alguna prueba más formal. En este caso, recuerda que la igualdad de los triángulos demostrada anteriormente implica que $AD=DC$ y $\angle BDA=\angle BDC = 90^\circ\,$ , luego, usando esas igualdades, podría justificar el argumento " voltear " (aunque en ese momento ya sabe que $\angle A = \angle C$ por la misma igualdad triangular).
FWIW la prueba más directa es que $\triangle BAC = \triangle BCA$ por $SSS\,$ (o $SAS\,$ ), por lo tanto los ángulos correspondientes son iguales $\angle BAC = \angle BCA$ .
Déjame preguntarte, ¿cómo se ve claramente en la imagen que puedes hacer eso? Solo puede estar claro si de alguna manera está seguro de que AD = DC y AB = AC, BD = BD $\angle A = \angle C; \angle BAD =\angle CAD; \angle BDA = \angle CDA$ etc. ¿Puedes estar seguro de eso? Si puedes, entonces sí. Si no entonces, no. Pero si es así, debe poder decir por qué.

jay zha · Answer 1

Sí, tienes razón en que "existe una forma de colocar el triángulo $ABD$ en triangulo $BDC$ para que se superpongan perfectamente", y usted podría argumentar: "bueno, hay más de una forma de colocar, ¿cómo sé de qué manera se superponen perfectamente" - y esa es exactamente su pregunta.

Sin embargo, no olvides que obtienes la congruencia por $SAS$ , lo que significa que sabes qué dos lados son iguales respectivamente, y también sabes qué ángulo (es decir, el ángulo de esos dos lados iguales) es el mismo para los dos triángulos.

Entonces, es obvio de qué manera debes colocar los triángulos.

Pauca inteligente · Answer 2

Incluso si su prueba es la preferida en los libros de texto de la escuela secundaria, creo que vale la pena mencionar una prueba más simple.

Comparar triángulos $ABC$ y $CBA$ : son congruentes por $SAS$ y por lo tanto $\angle A\cong\angle C$ .

¿Cómo funciona realmente la congruencia?

Ovi

dxiv

dxiv

sangre de pulga

Respuestas (2)

jay zha

Pauca inteligente

Encontrar las longitudes de los lados de un trapezoide dada la distancia entre su intersección diagonal y el punto medio de una diagonal

PQ∥BCPQ∥BCPQ ∥ BC para isósceles △ABC△ABC\triángulo ABC y equilátero inscrito △PQR△PQR\triángulo PQR siendo RRR el punto medio de BCBCBC

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

¿Cuál es el área del semicírculo verde?

Si p,q,rp,q,rp,q,r son las longitudes de las perpendiculares desde los vértices del triángulo ABCABCABC en cualquier recta, probar a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

¿Hay alguna figura trilateral en geometría euclidiana que no sea un triángulo?

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Usando Menelao para mostrar: Las bisectrices perpendiculares de las bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran con los lados opuestos en puntos colineales

Línea a través del punto medio del vértice-centroide del triángulo

Área de un triángulo equilátero con los radios de la circunferencia inscrita