Estoy analizando la estabilidad de un péndulo físico doble y he determinado que el sistema de ecuaciones adimensional es
ϕ¨porque( θ - ϕ ) +ϕ˙2pecado( θ − ϕ ) +αθ¨+ βpecadoθ =0θ¨porque( θ - ϕ ) -θ˙2pecado( θ - ϕ ) +γϕ¨+ pecadoϕ =0
dónde
α
,
β
y
γ
se definen para ser
αβγ=(I1+ (metro1+metro2)L21)metro2L1L2=L1(metro1+metro2)metro2L2=(I2+metro2L22)metro2L1L2.
Configuración
ϕ¨=θ¨=ϕ˙=θ˙= 0
, encontramos que los puntos estacionarios del sistema están en
( 0 , 0 ) ,( 0 , π) ,( π, 0 ) ,( π, π)
.
Quiero encontrar la estabilidad del sistema en estos puntos. Así es como intenté encontrarlos, pero no estoy seguro de si mi trabajo es correcto:
Linealicé el sistema de ecuaciones.
ϕ¨+ aθ¨+ βθ = 0θ¨+ ϕ + γϕ¨= 0.
Reorganizar y sustituir las ecuaciones entre sí
θ¨=βγ1 - α γθ -11 - α γϕϕ¨=α1 - α γϕ -β1 - α γθ.
Expresando esto como una ecuación matricial
ddt⎡⎣⎢⎢⎢⎢θθ˙ϕϕ˙⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0βγ1 - α γ0−β1 - α γ10000−11 - α γ0α1 - α γ0010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢θθ˙ϕϕ˙⎤⎦⎥⎥⎥⎥.
Encontrar la ecuación característica para los valores propios de la matriz
det ( A − λ yo) =∣∣∣∣∣∣∣− λβγ1 - α γ0−β1 - α γ1− λ000−11 - α γ− λα1 - α γ001− λ∣∣∣∣∣∣∣= 0⟹λ4−α + βγ1 - α γλ2+α βγ− β( 1 - α γ)2= 0⟹λ4−α + βγ1 - α γλ2−β1 - α γ= 0
Resolviendo los valores propios usando la fórmula cuadrática da
λ2=( α + βγ) ±( − ( α + βγ))2− 4 ( 1 − α γ) ( − β)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2 ( 1 - α γ)=( α + βγ) ±α2− 2 α βγ+β2γ2+ 4 β−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2 ( 1 - α γ)=( α + βγ) ±( α - βγ)2+ 4 β−−−−−−−−−−−−√2 ( 1 - α γ)
No estoy seguro de que esto funcione. La estabilidad en estos puntos no debe depender de los parámetros, seguramente. siento que( 0 , 0 )
siempre debe ser estable.
¿No he encontrado correctamente el jacobiano? ¿O tal vez se supone que debo usar el hecho de que los parámetros son positivos? Cualquier ayuda o aclaración sería muy apreciada.
Valter Moretti