Clasificar puntos de equilibrio y encontrar puntos de bifurcación de un sistema dinámico no lineal

Question

Clasificar puntos de equilibrio y encontrar puntos de bifurcación de un sistema dinámico no lineal

Física
valor propio
equilibrio
sistemas no lineales
deberes-y-ejercicios

estadistica

Contexto : La pregunta se refiere a la física computacional de sistemas no lineales con Mathematica .

Ejercicio : Dado el sistema $\{f_1: \dot{x} = a x + y + x^3, f_2: \dot{y} = x - y \}$ :

Encuentra los puntos de equilibrio y clasifícalos.
¿Qué tipo de bifurcación hay y para qué valor de $a=a^*$ sucede?
Dibuja el retrato de fase para uno. $a<a^*$ y para uno $a>a^*$ .

Solución : calculo los puntos de equilibrio resolviendo el sistema de ecuaciones $\{\dot{x} = 0, \dot{y} = 0\}$ . Obtengo tres soluciones: $(0,0), (-\sqrt{-1-a},-\sqrt{-1-a}), (\sqrt{-1-a}, \sqrt{-1-a})$ .

Mis notas de clase mencionan que para clasificar un punto de equilibrio, primero necesito encontrar la topología cerca de los puntos de equilibrio. Esto se hace calculando los valores propios de la siguiente matriz:

A = {(\begin{matrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial X} & \frac{\partial F_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial F_{2}}{\partial X} & \frac{\partial F_{2}}{\partial y} \end{matrix})}_{(X_{0}^{*}, y_{0}^{*})}

$\begin{equation} A= \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}_{(x_0^*, y_0^*)} \end{equation}$

Como se puede ver en la siguiente captura de pantalla (L1 son los valores propios de la matriz A calculados en el primer punto de equilibrio, en (0,0)), podemos ver que:

para $a <-1$ , es $\lambda_1 < 0, \lambda_2 < 0$ , por lo tanto es un nodo estable.
para $a>-1$ , es $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ , por lo tanto es silla de montar.

Mi primera pregunta es : ¿Qué ocurre con $a = -1$ , donde los valores propios se convierten en (-2, 0) ? Mi suposición más cercana es usar el teorema de Hartman-Grobman y decir que el punto de equilibrio es 'linealmente estable'. ¿Hay algo que me estoy perdiendo aquí?

Mi segunda pregunta es : con respecto al punto de bifurcación, al observar los puntos de equilibrio del sistema, deducimos que en el valor $a=-1$ cambian (el nodo estable se convierte en silla de montar y viceversa). ¿Es suficiente decir que hay un punto de bifurcación en $a=-1$ ? También por $a=-1$ los tres puntos de equilibrio chocan en uno solo. ¿Cómo encaja este hecho con todo lo demás?

Valores propios de la matriz para el punto de equilibrio (0,0)

Actualizar:

Estos son los retratos de fase para $a<a^*, a>a^*$ con $a^*=-1$ siendo el punto de bifurcación:

ingrese la descripción de la imagen aquí

bruce decano

Buena actualización, tus tramas se ven geniales. Además, intente hacer algunas animaciones en función de a.

Respuestas (1)

Clasificar puntos de equilibrio y encontrar puntos de bifurcación de un sistema dinámico no lineal

Buena actualización, tus tramas se ven geniales. Además, intente hacer algunas animaciones en función de a.

bruce decano · Answer 1

Como verificación, para su matriz de estabilidad lineal obtengo:

A = {(\begin{matrix} 3 X^{2} + a & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) |}_{(X * = 0, y * = 0)} = (\begin{matrix} a & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

$A = {\left. {\left( {\matrix{ {3{x^2} + a} & 1 \cr 1 & { - 1} \cr } } \right)} \right|_{(x* = 0,y* = 0)}} = \left( {\matrix{ a & 1 \cr 1 & { - 1} \cr } } \right)$

que es presumiblemente lo que tienes también. Por cierto, ¿cambiaste la notación de, $a \to \alpha$ ?

Entonces el determinante, $\Delta$ , y rastrear, $\tau$ , están dados por $-(a + 1)$ y, $a - 1$ , respectivamente.

Como saben, pero para que estemos en la misma página, la clasificación de un punto fijo dado está determinada por los valores de $\Delta$ y $\tau$ , para un valor dado de $a$ . Como mencionas, con $a<-1$ , $\Delta>0$ , entonces el punto fijo es un nodo estable porque, ${\tau ^2} - 4\Delta> 0$ con $\tau<0$ , y para $a>-1$ , tiene un nodo de silla desde el $\Delta<0$ .

Para $a=-1$ (asumiendo que por $\alpha$ te referías $a$ ) tenemos $\Delta = 0$ , lo que indica que está en un bifurcation point, lo que significa que la estructura topológica del diagrama de fase está en transición en este valor de $a$ . En su caso, la transición es de un nodo estable a un nodo de silla.

Puede convencerse de esto visualmente en Mathematica trazando algo como:

PlotVectorField[{a x + y + x^3, x - y}, {x, -L , L}, {y, -L, L}, 
 Axes -> True]

Para valores adecuadamente elegidos de los parámetros, $a$ y $L$ .

Existen convenciones sobre cómo clasificar los diferentes tipos de bifurcaciones que pueden ocurrir, p. ej., nodo en silla de montar, transcrítica, tridente, crítica, de Hopf, transcrítica, etc. Consulte, p. ej., Strogatz para obtener más información sobre las clasificaciones y, en particular , para descubre el tipo de punto de bifurcación que tienes en tu sistema.

Espero que esto ayude.

¡Gracias @roybatty! Por cierto, ¡permítanme corregir la ambigüedad a versus \alpha!
Acabo de ver tu segunda pregunta, así que sí, ¡vas por buen camino!
Solo una aclaración más, antes de aceptar su respuesta: ¿No es el punto de equilibrio $(0,0)$ para $a<-1$ un nodo estable (sumidero) en lugar de un nodo central? ¿Como se muestra en los retratos de fase también? ¡Gracias!
si tienes razon si $\Delta>0$ entonces los autovalores son reales con el mismo signo (nodos) o complejos conjugados (espirales o centros). Los nodos satisfacen, ${\tau ^2} - 4\Delta > 0$ , y en tu caso es estable ya que $\tau < 0$ . Acabo de editar mi respuesta para corregir eso.

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