Manipulación de funciones hipergeométricas

Tengo una ecuacion diferencial:

( F Φ ′ ) ′ − yo ( yo + 1 ) r 2 Φ = 0 ,

que he resuelto con un programa que da

Φ ( r ) = C 1 ( r R ) 2 2 F 1 ( 1 − yo , 2 + yo , 3 , r R ) .

Si bien esto técnicamente funciona, quiero que sea de la siguiente forma:

Φ < ( r ) = C 1 ( r r 0 ) yo + 1 2 F 1 ( − yo − 1 , − yo + 1 , − 2 yo , R r )
cuando r < r 0

y

Φ > ( r ) = C 2 ( r 0 r ) yo 2 F 1 ( yo , yo + 2 , 2 yo + 2 , R r )
cuando r > r 0

por alguna distancia arbitraria r 0 > R . También, F = 1 − R r .

Las dos funciones anteriores satisfacen mi ecuación diferencial, por lo que debe haber una manera de escribir cada una de estas funciones en términos de la que encontró mi programa. ¿Puede alguien darme algunos consejos? Para un poco más de contexto, mi solución corresponde al potencial que siente alguna partícula fuera de un agujero negro en el espacio-tiempo de Schwarzschild donde R es la ubicación del horizonte de sucesos y r 0 es la posición instantánea de la partícula.

Esta es una pregunta bien escrita, pero ¿no hay un documento que estudie su problema de GR? (Tal vez no haya entendido muy bien su descripción, pero suena como un problema estándar de GR).

Respuestas (2)

Creo que desea las fórmulas de conexión que vinculan las soluciones sobre los tres puntos singulares regulares entre sí. Hay una breve discusión que comienza en la página 408 de mis notas de clase:

http://cursos.física.illinois.edu/phys509/sp2017/bmaster.pdf

¡Oye, esto es increíble! He tenido la intención durante años de encontrar más cosas (hechos matemáticos e intuición en lugar de fórmulas incomprensibles) sobre la hipergeometría, aparte de lo que Mathematica escupe como la solución a la DE de segundo orden lineal y no lo he logrado. También parecen notas bastante grandiosas.
Si bien esto puede responder teóricamente a la pregunta, sería preferible incluir las partes esenciales de la respuesta aquí y proporcionar el enlace como referencia.

Con una sustitución X ≡ r / R se puede transformar la EDO en una ecuación hipergeométrica:

X ( 1 − X ) ϕ ″ ( X ) − ϕ ′ ( X ) + yo ( yo + 1 ) ϕ ( X ) = 0.
esto corresponde a ( a , b , C ) = ( − 1 − yo , yo , − 1 ) o equivalente ( yo , − 1 − yo , − 1 ) . La EDO Hipergeométrica tiene dos soluciones lineales independientes ϕ 1 y ϕ 2 .

Para | X | < 1 y C ≠ 0 , 1 , 2 , … :

ϕ 1 < ( X ) = 2 F 1 ( a , b , C , X )
ϕ 2 < ( X ) = X 1 − C 2 F 1 ( a − C + 1 , b − C + 1 , 2 − C , X )

Para | X | > 1 y a − b ≠ 0 , 1 , 2 , … :

ϕ 1 > ( X ) = X − a 2 F 1 ( a , a − C + 1 , a − b + 1 , X − 1 )
ϕ 2 > ( X ) = X − b 2 F 1 ( b , b − C + 1 , b − a + 1 , X − 1 )

Introduciendo la definición de X y los valores de ( a , b , C ) uno puede obtener las soluciones que OP está buscando. Puedo recomendar a A. Jeffrey y H. Dai - 2008 - Manual de fórmulas matemáticas e integrales - 4ª ed . Las fórmulas que di provienen de este libro sec. 22.17.

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