¿Qué es el análisis de pandeo lineal / valor propio?

Necesito una explicación simple y clara de lo que se llama análisis de pandeo lineal y por qué también se llama análisis de pandeo de valores propios .

En otras palabras, ¿cómo la frecuencia de vibración natural o frecuencia propia se refiere a la estabilidad estática del sistema mecánico?

Para ser más específico, necesito una comprensión básica de este tema porque actualmente estoy estudiando un problema de optimización topológica (o estructural) de alguna construcción mecánica utilizando un software de análisis de elementos finitos. Y como sé, hoy en día solo se pueden usar criterios de pandeo lineal para la optimización de la topología. Corrígeme si estoy equivocado.

A continuación se muestra la ilustración más comprensible de este artículo que he encontrado en Internet.

Imagen

Aquí está el enlace . Aunque explica el sentido y el propósito de los elementos descritos, en realidad no brinda una explicación completa y clara de lo que realmente está sucediendo. Así que aquí espero obtener al menos un buen enlace.

No está claro lo que ya sabe, pero la Parte V de estas notas del curso es una buena descripción general de la teoría. colorado.edu/engineering/cas/courses.d/NFEM.d/Home.html

Respuestas (1)

El problema de valores propios en este caso no tiene mucho que ver con la vibración del sistema, pero se puede trazar una analogía.

Definición del problema y aclaración de vibraciones.

En un caso bastante general, la aproximación de elementos finitos de un problema de mecánica termina en la forma

[ METRO ] { tu ¨ } + { ψ } = { ϕ }
dónde [ METRO ] es la matriz de masa, { ψ } el vector de fuerzas internas y { ϕ } el vector de fuerzas externas.

Supongamos el caso lineal donde { ψ } = [ k ] { tu } . Resolviendo el problema de valores propios:

( ω 2 [ METRO ] + [ k ] ) { tu } = { 0 }
nos proporcionará frecuencias propias asociadas con los modos, es decir, las formas estructurales correspondientes.

Análisis de pandeo lineal

Ahora lo que consideramos es el problema cuasi-estático, sin efecto de inercia (masa):

{ ψ ( tu ) } = { ϕ }
que linealizamos alrededor de un estado de referencia suponiendo pequeños desplazamientos y una evolución despreciable de fuerzas externas, terminando con la forma
[ k T ] { tu } = { 0 }
[ k T ] se puede dividir en la suma de una contribución material [ k metro ] y una contribución geométrica [ k gramo ] .

  • si det [ k T ] ≠ 0 entonces ningún desplazamiento es admisible y el problema es estable.
  • si det [ k T ] = 0 entonces existe una solución de desplazamiento distinto de cero que no requiere fuerza adicional: esto es el pandeo .

[ k metro ] suele ser definida positiva mientras que [ k gramo ] puede no ser; por lo tanto, es de interés en el análisis de pandeo lineal. El problema de valor propio que consideramos en el análisis de pandeo lineal es:

( [ k T ] + λ [ k gramo ] ) { tu } = 0
es decir, buscamos un factor de carga λ y los modos propios asociados que llevarán el determinante del sistema a cero.

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