Ecuación diferencial para el oscilador anarmónico

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Ecuación diferencial para el oscilador anarmónico

Física
sistemas no lineales
mecanica-newtoniana
osciladores anarmónicos
ecuaciones diferenciales
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Bajo Eyal

En mi proyecto, mi socio y yo usamos el motor para restringir el sistema para que podamos ver las oscilaciones anarmónicas. En nuestro primer análisis, solo obtenemos potencias impares en la ecuación diferencial, por lo que solo debería haber oscilaciones armónicas impares ( $\omega$ , $3\omega$ etc.). Pero en los datos reales también obtenemos las oscilaciones del segundo armónico ( $2\omega$ ). Entonces pensamos que si podemos hacer la serie de Taylor sobre el equilibrio y no el cero, podemos obtener en la ecuación un segundo orden (la ecuación está abajo) de $x$ entonces existiría la segunda armonía.

En la imagen se puede ver el sistema: hay un motor en un piso que mueve el peso. $l_0$ es la longitud inicial de los resortes ascendentes, $l_{02}$ es la longitud inicial del resorte descendente, $\Delta$ $l$ es un cambio de longitud de un resorte hacia arriba, $k_1$ es la constante de ambos resortes, $k_2$ es la constante de un resorte hacia abajo que conecta el sistema con el motor, $a$ es la distancia entre el camino y las columnas, $x$ es nuestra coordenada, $x_e$ es la coordenada del resorte del motor.

X_{mi} (t) = A pecado (ω t)

$x_e(t)=A\sin(\omega t)$

yo (t) = \sqrt{X^{2} + a^{2}}

$l(t)=\sqrt{x^2+a^2}$

Δ yo = yo (t) - {yo}_{0} = \sqrt{X^{2} + a^{2}} - {yo}_{0}

$\Delta l = l(t)-l_0 = \sqrt{x^2+a^2} - l_0$

F_{k 1} = - k_{1} Δ yo pecado (θ); pecado (θ) = \frac{X}{\sqrt{X^{2} + a^{2}}}

$F_{k1} = -k_1\Delta l \sin(\theta);\ \sin(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$

F_{k 2} = k_{2} (X - X_{mi} + {yo}_{02})

$F_{k2} = k_2(x-x_e+l_{02})$ Entonces la ecuación es:

metro \ddot{X} = 2 F_{k 1} - F_{k 2} - metro gramo

$m\ddot{x}=2F_{k1}-F_{k2}-mg$ Definimos nuevas constantes:

ω_{1} = \sqrt{\frac{2 k_{1}}{metro}}; ω_{2} = \sqrt{\frac{k_{2}}{metro}}

$\omega _1=\sqrt\frac {2k_1}{m};\ \omega _2=\sqrt\frac {k_2}{m}$ Y así tenemos:

\ddot{X} + ω_{1}^{2} X (1 - \frac{{yo}_{0}}{\sqrt{X^{2} + a^{2}}}) + ω_{2}^{2} X = - ω_{2}^{2} ({yo}_{02} - X_{mi}) - gramo

$\ddot{x}+\omega _1 ^2 x(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+a^2}})+ \omega _2 ^2 x=- \omega _2 ^2 (l_{02}-x_e)-g$ Como puede ver si hacemos la serie de Taylor sobre

0

$0$ para la raíz cuadrada, solo podemos obtener potencias pares, ya que

x^{2}

$x^2$ está debajo de la raíz. Así que si lo producimos con

x

$x$ , obtenemos las potencias impares. Por lo tanto, no debería haber ni siquiera oscilaciones armónicas. Si tomamos el

\ddot{x} = 0

$\ddot x=0$ para encontrar el (los) equilibrio (s), obtenemos la ecuación que, después de algunas matemáticas, adquiere el aspecto de cuarto orden:

(ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}) X^{4} + 2 (ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}) [gramo + ω_{2}^{2} (X_{mi} - {yo}_{02})] X^{3} + [(ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}) a^{2} + [gramo + ω_{2}^{2} (X_{mi} - {yo}_{02})]^{2} - {yo}_{0}^{2} ω_{1}^{2}] X^{2} + 2 (ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}) [gramo + ω_{2}^{2} (X_{mi} - {yo}_{02})] a^{2} X + [gramo + ω_{2}^{2} (X_{mi} - {yo}_{02})]^{2} = 0

$(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)x^4 +2(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]x^3+ [(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)a^2+[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]^2-l_0 ^2 \omega _1 ^2]x^2+ 2(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]a^2 x +[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]^2=0$

Uso el Matlab para encontrar las raíces de esta ecuación y tengo 4 raíces. Cada una de ellas ocupa 37 páginas A4 de Word en Arial 12. Es difícil trabajar con estas soluciones y entender cuál de ellas es el equilibrio que necesitamos. ¿Hay alguna otra forma de encontrar los equilibrios? ¿O hay otra manera en que podamos encontrar cómo el segundo orden de $x$ entra en la ecuacion?

Respuestas (1)

Ecuación diferencial para el oscilador anarmónico

eli · Answer 1

¿Quizás esto te ayude?

quieres encontrar x (equilibrio) que cumpla esta ecuación.

\begin{matrix} (1) & F (X) = ω_{1} X (1 - \frac{{yo}_{0}}{\sqrt{X^{2} + a^{2}}}) + {ω_{2}}^{2} X + {ω_{2}}^{2} ({yo}_{2} - X_{mi}) + gramo = 0 \end{matrix}

$f(x)=\omega_{{1}}x \left( 1-{\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}}}} \right) +{\omega_{{2}}}^{2}x+{\omega_{{2}}}^{2} \left( l_{{2}}-x_{{E} } \right) +g=0\tag 1$

primero tome la serie de Taylor de

\frac{{yo}_{0}}{\sqrt{X^{2} + a^{2}}} \approx \frac{{yo}_{0}}{\sqrt{a^{2}}} - \frac{1}{2} \frac{{yo}_{0} X^{2}}{\sqrt{a^{2}} a^{2}}

${\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}}}}\approx{\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{a}^{2}}}}-\frac 12\,{\frac {l_{{0}}{x}^{2}}{\sqrt {{a}^{2}}{a}^{2}}}$

ponerlo en la Ec. (1)

\begin{matrix} (2) & F (X) \mapsto a_{0} + a_{1} X + a_{3} X^{3} = 0 \end{matrix}

$f(x)\mapsto a_0+a_1\,x+a_3\,x^3=0\tag 2$

con:

a_{0} = {ω_{2}}^{2} ({yo}_{2} - X_{mi}) + gramo

$a_0={\omega_{{2}}}^{2} \left( l_{{2}}-x_{{E}} \right) +g$

a_{1} = ω_{1} (1 - \frac{{yo}_{0}}{\sqrt{a^{2}}}) + {ω_{2}}^{2}

$a_1=\omega_{{1}} \left( 1-{\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{a}^{2}}}} \right) +{ \omega_{{2}}}^{2}$

a_{3} = 1 / 2 \frac{ω_{1} {yo}_{0}}{\sqrt{a^{2}} a^{2}}

$a_3=1/2\,{\frac {\omega_{{1}}l_{{0}}}{\sqrt {{a}^{2}}{a}^{2}}}$

tienes tres soluciones de la ec. (2) pero solo uno es el valor real

\begin{matrix} (3) & X_{real} = \frac{1}{6} \sqrt[3]{(- 108 a_{0} + 12 \sqrt{3} \sqrt{\frac{4 {a_{1}}^{3} + 27 {a_{0}}^{2} a_{3}}{a_{3}}}) {a_{3}}^{2}} {a_{3}}^{- 1} - 2 a_{1} \frac{1}{\sqrt[3]{(- 108 a_{0} + 12 \sqrt{3} \sqrt{\frac{4 {a_{1}}^{3} + 27 {a_{0}}^{2} a_{3}}{a_{3}}}) {a_{3}}^{2}}} \end{matrix}

$x_{\text{real}}= \frac 16\,\sqrt [3]{ \left( -108\,{\it a_0}+12\,\sqrt {3}\sqrt {{\frac {4\,{ {\it a_1}}^{3}+27\,{{\it a_0}}^{2}{\it a_3}}{{\it a_3}}}} \right) {{\it a_3 }}^{2}}{{\it a_3}}^{-1}-2\,{\it a_1}{\frac {1}{\sqrt [3]{ \left( -108\,{ \it a_0}+12\,\sqrt {3}\sqrt {{\frac {4\,{{\it a_1}}^{3}+27\,{{\it a_0}}^{ 2}{\it a_3}}{{\it a_3}}}} \right) {{\it a_3}}^{2}}}} \tag 3$

para validar la solución de la Ec. (3) pongo algunos datos

$[\omega_{{1}}=10,\omega_{{2}}=2,g=10,l_{{0}}= 0.9,l_{{2}}= 0.3,x_{{E}} = 2.5,a=3] ~$ y consiguió $x_\text{real}=-0.109~$ si utiliza estos datos para encontrar la solución de la ecuación. (1) obtienes el mismo resultado, por lo que la lista de esos datos es el ansatz correcto.

Yo uso MAPLE para hacer los resultados simbólicos.

Ecuación diferencial para el oscilador anarmónico

Bajo Eyal

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eli

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