En notación de Dirac: producto interno vs representación base

Question

En notación de Dirac: producto interno vs representación base

ric.san

La notación de Dirac $\langle a | b \rangle$ parece algo ambiguo.

Por un lado, puede verse como el producto interno de los elementos. $a(x)$ y $b(x)$ del espacio de Hilbert $\scr H$ , a saber:
$\begin{matrix} (1) & ⟨ a | b ⟩ = \int_{R} a^{*} (X) b (X) d X . \end{matrix}$ $\langle a | b \rangle ={\displaystyle}\int_\mathbb R a^*(x) \ b(x) \ dx.\tag{1}$
Por otra parte, es la evaluación de $b$ en su $a$ th componente, con respecto a una base ortonormal particular para $\scr H$ .
- caso discreto .
  $\begin{matrix} (2d) & ⟨ norte | b ⟩ = b_{norte}, \end{matrix}$ $\langle n | b\rangle = b_n, \tag{2d}$ dónde $\displaystyle \sum_n |n\rangle\langle n | = \mathbb I\$ y $\langle n | m \rangle = \delta_{nm}.$
- caso continuo .
  $\begin{matrix} (2c) & ⟨ X | b ⟩ = b (X), \end{matrix}$ $\langle x | b\rangle = b(x), \tag{2c}$ dónde $\displaystyle \int_\mathbb R |x\rangle\langle x | = \mathbb I\$ y $\langle x | x' \rangle = \delta(x- x').$

La conclusión obvia es que eres libre de ver $\langle a | b \rangle$ en ambos sentidos, es decir, 1. y 2. son equivalentes.

¡Pero no puede ser! Por ejemplo:

\begin{matrix} (3) & b (X) \overset{(2 C)}{=} ⟨ X | b ⟩ \overset{(1)}{\neq} \int_{R} X b (X) d X . \end{matrix}

$b(x) \stackrel{(2c)}{=} \langle x | b\rangle \stackrel{(1)}{\neq} \displaystyle \int _\mathbb R x b(x) dx.\tag{3}$

¿Entonces? ¿ Cómo puedo elegir la forma correcta de verlo a priori ?

Tobias Funke

Tenga en cuenta que

| x ⟩

$|x\rangle$ no es un elemento de

H

$\mathscr{H}$ ; en particular, los estados de posición no forman una base ortonormal completa (p. ej.

⟨ x | x ⟩

$\langle x|x\rangle$ no está bien definida).

Tobias Funke

Además, el producto interno que ha proporcionado solo es aplicable para

H = L^{2} (R)

$\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R})$ funciones no?

Emilio Pisanty

Sus afirmaciones 1 y 2 son de hecho equivalentes. Obtendrá respuestas más útiles si explica con más detalle por qué cree que son incompatibles. Que quieres decir con "

b (x) \neq \int_{R} x b (x) d x

$b(x) \neq \displaystyle \int _\mathbb R x b(x) dx$ ", y ¿por qué crees que esos dos deberían ser iguales?

Tobias Funke

@EmilioPisanty Creo que OP está diciendo eso

⟨ x | b ⟩ = \int_{R} d x x b (x)

$\langle x|b\rangle = \displaystyle \int _\mathbb R\mathrm{d}x\, x\, b(x)$ desde la perspectiva de un producto escalar.

Cosmas Zachos

Tu (3) es una tontería: Dirac pone especial cuidado en su libro en recordarte la función de onda de

| x ⟩

$|x\rangle$ es una función delta, no x.

Emilio Pisanty

Relacionado, probablemente útil: Notación Bra-Ket .

Respuestas (1)

En notación de Dirac: producto interno vs representación base

Tenga en cuenta que $|x\rangle$ no es un elemento de $\mathscr{H}$ ; en particular, los estados de posición no forman una base ortonormal completa (p. ej. $\langle x|x\rangle$ no está bien definida).
Además, el producto interno que ha proporcionado solo es aplicable para $\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R})$ funciones no?
Sus afirmaciones 1 y 2 son de hecho equivalentes. Obtendrá respuestas más útiles si explica con más detalle por qué cree que son incompatibles. Que quieres decir con " $b(x) \neq \displaystyle \int _\mathbb R x b(x) dx$ ", y ¿por qué crees que esos dos deberían ser iguales?
@EmilioPisanty Creo que OP está diciendo eso $\langle x|b\rangle = \displaystyle \int _\mathbb R\mathrm{d}x\, x\, b(x)$ desde la perspectiva de un producto escalar.
Tu (3) es una tontería: Dirac pone especial cuidado en su libro en recordarte la función de onda de $|x\rangle$ es una función delta, no x.

Wihtedeka · Answer 1

Dado

I = \int | X ⟩ ⟨ X | d X

$\mathbb{I} = \int |x\rangle\langle x| \,\mathrm{d}x$ Puedes reescribir el producto escalar

⟨ x | b ⟩ = b (x)

$\langle x | b\rangle = b(x)$ insertando un 'uno' en el medio

\begin{aligned} ⟨ X | b ⟩ & = ⟨ X | I | b ⟩ = \int ⟨ X | X^{'} ⟩ ⟨ X^{'} | b ⟩ d X^{'} \\ = \int d (X - X^{'}) b (X^{'}) d X^{'} \\ = b (X) \end{aligned}

$\begin{align*} \langle x | b \rangle &= \langle x | \mathbb{I} | b\rangle = \int \langle x | x'\rangle \langle x'| b\rangle \,\mathrm{d}x' \\ &= \int \delta(x-x')b(x') \,\mathrm{d}x' \\ &= b(x) \end{align*}$

Esto explica cómo obtener el resultado correcto, pero sinceramente, no estoy seguro de dónde cometió un error.

Creo que el error en la ecuación de OP (3) es simplemente que no es un producto interno entre dos $L^2$ funciones; por lo que la ecuación (1) no es aplicable.
Sí, supongo que son dos formas de ver el mismo problema. De todos modos, gracias a todos

En notación de Dirac: producto interno vs representación base

ric.san

Tobias Funke

Tobias Funke

Emilio Pisanty

Tobias Funke

Cosmas Zachos

Emilio Pisanty

Respuestas (1)

Wihtedeka

Tobias Funke

Cosmas Zachos

ric.san

Pregunta sobre un "ket vacío" y la notación de Dirac

En mecánica cuántica, ¿es |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle igual a ψ(x)ψ(x)\psi(x)?

Estados propios de posición en la imagen de Schrödinger

Bra ket notación de manera rigurosa

¿Cómo actúa la transpuesta conjugada de un operador sobre un sostén y un ket en el contexto de los operadores de aniquilación y elevación?

¿Cuál es la forma funcional de un vector ket en la base de posición?

Al determinar si un vector ket está normalizado, ¿debe ser el ket conjugado complejo?

Función de onda como vector ket en un espacio de Hilbert

¿Cuál es el producto interno entre un ket de posición y un ket de dos estados (o de múltiples estados)?

¿Por qué usamos vectores en mecánica cuántica?