Notación Bra-Ket

Permítanme trabajar en la notación matemática por un rato y luego volver a la notación de Dirac.

Suponga que comienza con un espacio de Hilbert$\mathscr H$, que puedes entender como un espacio de funciones de algún espacio de coordenadas$S$en$\mathbb C$, es decir, si$f\in\mathscr H$entonces$f:R\to \mathbb C$, y que tienes alguna noción adecuada de producto interno$(·,·):\mathscr H\times \mathscr H\to\mathbb C$, como por ejemplo una integral sobre$R$. (Tenga en cuenta que aquí$(·,·)$debe ser lineal en el segundo argumento.)

Dada esta estructura, para todo vector$f\in\mathscr H$se puede definir un funcional lineal$\varphi_f:\mathscr H\to \mathbb C$, es decir, una función que toma elementos$g\in \mathscr H$y les asigna números complejos$\varphi_f(g)\in \mathbb C$, cuya acción está dada específicamente por$\varphi_f(g) = (f,g)$. Como tal,$\varphi_f$vive en$\mathscr H^*$, el doble de$\mathscr H$, que es el conjunto de todos los funcionales lineales (acotados y/o continuos) de$\mathscr H$a$\mathbb C$.

Hay muchas otras funciones interesantes alrededor. Por ejemplo, si$\mathscr H$es un espacio de funciones$f:R\to \mathbb C$, entonces otro funcional de este tipo es una evaluación en un punto dado$x\in R$: es decir, el mapa$\chi_x:\mathscr H\to\mathbb C$dada por

$$\chi_x(g) = g(x).$$ En general, este mapa no es realmente acotado ni continuo (en la topología de $\mathscr H$), pero puedes ignorar eso por ahora; la mayoría de los físicos lo hacen.

Por lo tanto, tiene este espacio grande y espacioso de funcionales$\mathscr H^*$, y tienes esta incrustación de$\mathscr H$en$\mathscr H^*$dada por$\varphi$. En general, sin embargo,$\varphi$puede o no cubrir la totalidad de$\mathscr H^*$.

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La correspondencia de esto en la notación de Dirac es la siguiente:

• $f$se denota$|f\rangle$y se llama ket.

• $\varphi_f$se denota$\langle f|$y se llama sostén.

• $\chi_x$se denota$\langle x|$, y también se llama sostén.

Al juntarlos, comienzas a obtener algunas de las cosas que querías:

2. $\langle x |f\rangle$es$\chi_x(f) = f(x)$, es decir, sólo la función de onda.

6. $\langle f | g \rangle$es$\varphi_f(g) = (f,g)$, es decir, el producto interno de$f$y$g$en$\mathscr H$, como debería ser.

Tenga en cuenta, en particular, que estos solo se derivan de la yuxtaposición de las interpretaciones correspondientes de los sujetadores y kets relevantes.

7.Algo sorprendente,$\langle f | x\rangle$ en realidad está definido, solo se evalúa como$f(x)^*$. Esto se debe esencialmente a que, en el cerebro de los físicos,

9. $|x\rangle$está realmente definido. Normalmente se entiende como "una función que está infinitamente localizada en$x$", que por supuesto requiere un físico para darle sentido (o más exactamente, para descartar el hecho de que no tiene sentido). Esto se relaciona con

8.' $\langle x' | x\rangle$, el freno entre diferentes posiciones$x,x'\in R$, que evalúa a$\delta(x-x')$. Por supuesto, esto significa que

8. $\langle x | x\rangle$, con ambas posiciones iguales, en realidad no está definido.

Si esto parece que a los físicos no les importa el rigor de ninguna manera, es porque en su mayoría lo es. Sin embargo, debo enfatizar que es posible dar una base rigurosa a estos estados, a través de un formalismo conocido como espacios amañados de Hilbert , donde esencialmente se divide$\mathscr H$y$\mathscr H^*$en diferentes "capas". Sin embargo, en general, esto requiere un análisis más funcional del que la mayoría de los físicos realmente aprenden, y no es necesario para operar con éxito en estos objetos.

Habiendo hecho eso, ahora llegamos a algunos de los lugares donde has ido por caminos muy extraños:

3. $\langle x| O\rangle$no significa nada. Tampoco "operador en un valor propio de$O$que produce la función propia correspondiente bajo una base de posición".

4. $|O\rangle$no es una cosa Nunca pones a los operadores dentro de un ket (y ciertamente no solos).

Los operadores siempre actúan en el exterior del ket. Entonces, digamos que tienes un operador$O:\mathscr H\to\mathscr H$, que en notación matemática tomaría un vector$f\in \mathscr H$y darte otro$O(f)\in \mathscr H$. En la notación de Dirac tiendes a ponerte un sombrero$\hat O$, y usas$\hat O|f\rangle$significar$O(f)$.

En particular, esto se usa para la notación más fundamental:

• $\langle f |\hat O|g\rangle$, que un matemático denotaría$\varphi_f(O(g)) = (f,O(g))$, o alternativamente (una vez que haya definido el conjugado hermitiano$O^*$de$O$)$\varphi_{O^*(f)}(g) = (O^*(f),g)$.

Esto incluye como caso especial

5. $\langle f |G(\hat x)|f\rangle$. Esto a veces se abrevia como$\langle G(\hat x)\rangle$, pero esa es una buena receta para la confusión. En este caso,$G:R \to \mathbb C$es generalmente una función, pero$G(\hat x)$es un objeto completamente diferente: es un operador, por ejemplo$G(\hat x)|f\rangle$vive en$\mathscr H$, y su acción es tal que este vector tiene función de onda

$$\langle x| G(\hat x) | f \rangle = G(x) f(x).$$ El elemento general de la matriz $\langle g |G(\hat x)|f\rangle$entonces se toma como el producto interno de $|g\rangle$con este vector, es decir $\int_R g(x)^*G(x) f(x)\mathrm dx$, y de manera similar en el caso especial $g=f$.

Finalmente, esto nos lleva a sus dos últimas preguntas:

10.La afirmación de que "la parte del sostén del sujetador siempre es una variable ficticia" es falsa. Como has visto,$\langle f|$está perfectamente bien definido. (También,$x$y$p$tampoco son variables "ficticias", nuevamente como ha visto anteriormente).

11.De manera similar, la afirmación de que "la porción ket siempre es una función/operador" también es falsa. Nunca pones operadores dentro de un ket (los pones a la izquierda), y generalmente está bien poner$x$'s allí (aunque, de nuevo, esto requiere más trabajo para arreglar las cosas, o la voluntad de descartar los problemas).

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Espero que esto sea suficiente para solucionar los problemas en su comprensión y hacer que use la notación de Dirac correctamente. Toma un tiempo entenderlo, pero una vez que lo haces, es muy útil. Del mismo modo, hay muchos problemas en términos de cómo formalizamos cosas como posicionar kets como$|x\rangle$, pero todos son superables y, lo que es más importante, tienen mucho más sentido una vez que haya estado usando la notación de Dirac correcta y cómodamente durante un tiempo.

Una breve mirada a la mecánica cuántica a través de la notación Bra-ket de Dirac [*]

1- En mecánica cuántica un estado físico se representa mediante un vector de estado en un espacio vectorial complejo . La dimensión del espacio vectorial está especificada por la naturaleza del sistema físico bajo consideración.

2- Un vector de estado se denota por un ket ,$|\alpha\rangle$, que contiene información completa sobre el estado físico.

3- Se pueden sumar dos ket para producir un nuevo ket y se puede multiplicar un ket por un número complejo.

$$|\alpha\rangle+|\beta\rangle=|\gamma\rangle$$ $$c|\alpha\rangle=|\alpha\rangle c$$ los kets $|\alpha\rangle$y $c|\alpha\rangle$( $c\neq0$) representan el mismo estado físico.

4- Un observable se denota por un operador ,$\hat{A}$.

5- Un operador actúa sobre un ket desde el lado izquierdo,$\hat{A}|\alpha\rangle$.

6- En general,$\hat{A}|\alpha\rangle$no es un tiempo constante$|\alpha\rangle$pero hay kets particulares, eigenkets de$\hat{A}$, decir$|{a}'\rangle$,$|{a}''\rangle$,$|{a}'''\rangle,...$que tienen la propiedad

$$\hat{A}|{a}'\rangle=\lambda_{{a}'}|{a}'\rangle, \hat{A}|{a}''\rangle=\lambda_{{a}''}|{a}''\rangle, \hat{A}|{a}'''\rangle=\lambda_{{a}'''}|{a}'''\rangle,...$$ dónde $\lambda_{{a}'}$, $\lambda_{{a}''}$, $\lambda_{{a}'''}$son solo números y se llaman valores propios . El conjunto completo de valores propios denotados por $\left \{ \lambda_{{a}'}\right \}$.

7- Un estado físico correspondiente a un eigenket se llama eigenstate .

8- Digamos que estamos interesados ​​en un espacio vectorial N-dimensional generado por N elementos propios de un observable$\hat{A}$, entonces cualquier$|\alpha\rangle$Se puede escribir como

$$|\alpha\rangle=\sum_{{a}'} c_{{a}'}|{a}'\rangle$$ donde la suma es sobre todos los autos de $\hat{A}$y $c_{{a}'}$son números complejos (se puede probar la unicidad de tal expansión). Aquí $\sum$indica estados contables (discretos), finitos o infinitos. Para estados no contables (continuos) el $\sum$es reemplazado por $\int$(ver 30).

9- Existe un espacio dual de espacio ket, que se llama espacio sujetador , y para todo ket$|\alpha\rangle$existe un sostén, denotado por$\langle\alpha|$. El espacio del sujetador está atravesado por eigenbras $\left \{ \langle {a}'|\right \}$que corresponden a los autos$\left \{ |{a}'\rangle \right \}$.

10- Existe una correspondencia biunívoca (correspondencia dual, DC) entre un espacio ket y un espacio bra y, en términos generales, el espacio bra puede considerarse como una especie de imagen especular del espacio ket.

$$|\alpha\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} \langle\alpha|$$ $$|\alpha\rangle+|\beta\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} \langle\alpha|+\langle\beta|$$ $$c|\alpha\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} c^{*}\langle\alpha|$$ dónde $c^{*}$es conjugado complejo de $c$.

11- El producto interior de un sujetador$\langle\beta|$y un ket$|\alpha\rangle$es en general un número complejo y se escribe como$\langle\beta|\alpha\rangle$.

12- Dos propiedades fundamentales del producto interior son

$$\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^{*}$$ $$\langle\alpha|\alpha\rangle {\geq}0 \textrm{ (positive definite metric)}$$

13- Dos botes$|\alpha\rangle$y$|\beta\rangle$se dice que son ortogonales si

$$\langle\alpha|\beta\rangle=0$$

14- Un bote$|\alpha\rangle$(al no ser un ket nulo) se puede normalizar

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}}|\alpha\rangle$$ con propiedad $$\langle\tilde{\alpha}|\tilde{\alpha}\rangle=1$$ dónde $\sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}$se llama la norma de $|\alpha\rangle$.

15- Consideremos tres operadores$\hat{X}$,$\hat{Y}$y$\hat{Z}$(no necesariamente representando observables).$\hat{X}$se dice que es el operador nulo si

$$\hat{X}|\alpha\rangle=0$$ y $\hat{X}$y $\hat{Y}$se dice que son iguales si $$\hat{X}|\alpha\rangle=\hat{Y}|\alpha\rangle$$

16- Se pueden sumar operadores, y la suma es conmutativa y asociativa

$$\hat{X}+\hat{Y}=\hat{Y}+\hat{X}$$ $$\hat{X}+(\hat{Y}+\hat{Z})=(\hat{X}+\hat{Y})+\hat{Z}.$$

17- Los operadores son lineales

$$\hat{X}(c_{\alpha}|\alpha\rangle+c_{\beta}|\beta\rangle)=c_{\alpha}\hat{X}|\alpha\rangle+c_{\beta}\hat{X}|\beta\rangle$$

18- Un operador actúa sobre un sostén desde el lado derecho,$\langle\alpha|\hat{X}$.

19- Existe la doble correspondencia

$$\hat{X}|\alpha\rangle \overset{DC}{\leftrightarrow} \langle\alpha|\hat{X}^{\dagger}$$ dónde $\hat{X}^{\dagger}$es el conjugado hermitiano de $\hat{X}$.

20- Los operadores se pueden multiplicar y la multiplicación no es conmutativa sino asociativa.

$$XY\neq YX$$ $$X(YX)=(XY)Z=XYZ$$ Se puede probar que $${\left ( XY \right )}^{\dagger}=Y^{\dagger}X^{\dagger}$$

21- Un bote$|\alpha\rangle$y un sostén$\langle\beta|$puede formar un operador a través de un producto externo $|\alpha\rangle\langle\beta|$.

22- Los siguientes son productos ilegales ,$\hat{X}\langle\alpha|$,$|\alpha\rangle\hat{X}$,$|\alpha\rangle|\beta\rangle$,$\langle\alpha|\langle\beta|$(asumiendo que$|\alpha\rangle$y$\beta\rangle$están en el mismo espacio).

23- La expresión$|\beta\rangle\langle\alpha|\gamma\rangle$puede interpretarse de dos maneras diferentes: primero, el operador$|\beta\rangle\langle\alpha|$actuando en ket$|\gamma\rangle$; segundo, el número$\langle\alpha|\gamma\rangle$multiplicando el ket$|\beta\rangle$. Según la primera interpretación, el operador$|\beta\rangle\langle\alpha|$gira el ket$|\gamma\rangle$en la dirección de$|\beta\rangle$.

24- Tres igualdades importantes a tener en cuenta son:

$$\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^{*}\textrm{ (see 12)}$$ $$\left (|\beta\rangle\langle\alpha|\right )^{\dagger}=|\alpha\rangle\langle\beta|$$ $$\langle\alpha|\hat{X}|\beta\rangle=\langle\beta|\hat{X}^{\dagger}|\alpha\rangle^{*}$$

25- En mecánica cuántica operadores hermitianos ($\hat{A}=\hat{A}^{\dagger}$) muy a menudo resultan ser operadores que representan algunos observables físicos. Se puede demostrar que un operador hermitiano,$\hat{A}$, tiene valores propios reales y mercados propios ortogonales (o convencionalmente ortonormales). eso es para

$$\hat{A}|{a}'\rangle=\lambda_{{a}'}|{a}'\rangle$$ tenemos $$\lambda_{{a}'}=\lambda_{{a}'}^{*}\textrm{ and }\langle{a}''|{a}'\rangle=\delta _{{a}''{a}'}$$ dónde $\delta$es delta de Kronecker.

26- Hemos demostrado que (ver 8) un ket arbitrario$|\alpha\rangle$, en el espacio ocupado por los autos de$\hat{A}$, se puede expandir como

$$|\alpha\rangle=\sum_{{a}'} c_{{a}'}|{a}'\rangle$$ multiplicando ambos lados de la ecuación por $\langle{a}''|$del lado izquierdo y usando ortonormalidad tenemos $$c_{{a}'}=\langle{a}'|\alpha\rangle$$ que es equivalente a $$|\alpha\rangle=\sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|\alpha\rangle$$ Porque $|\alpha\rangle$es un ket arbitrario que debemos tener $$\sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|=\mathbb{I}$$ dónde $\mathbb{I}$representa el operador de identidad. Esto se conoce como relación de completitud o cercanía y el operador $$\Lambda_{{a}'}=|{a}'\rangle\langle{a}'|$$ se llama operador de proyección .

27- En mecánica cuántica una medida siempre hace que el sistema salte a uno de los estados propios del observable físico que se está midiendo.

Digamos que el sistema está en un estado$|\alpha\rangle$antes de la medición y queremos medir el observable$\hat{A}$. Después de la medición, el sistema se lanza a uno de los$\left \{ |{a}'\rangle \right \}$, decir$|{a}'\rangle$, eso es,

$$|\alpha\rangle\xrightarrow{measurement}|{a}'\rangle$$ En otras palabras, la medida suele cambiar el estado. La única excepción es cuando el estado ya está en uno de los estados propios, entonces tenemos $$|{a}'\rangle\xrightarrow{measurement}|{a}'\rangle$$ Cuando la medida provoca $|\alpha\rangle$cambiar en $|{a}'\rangle$se dice que $\hat{A}$se mide para ser $\lambda_{{a}'}$, es decir, la medida arroja uno de los valores propios del observable.

28- No sabemos de antemano en cuál de los$\left \{ |{a}'\rangle \right \}$el sistema será arrojado como resultado de la medición, pero se postula que la probabilidad de saltar a algún estado propio particular$|{a}'\rangle$es dado por$\left | \langle{a}'|\alpha\rangle \right |^{2}$.

29- El valor esperado de un observable$\hat{A}$por un estado$|\alpha\rangle$Se define como

$$\langle A\rangle \equiv \langle \alpha|\hat{A}|\alpha \rangle$$ que es equivalente a $$\langle A\rangle = \sum_{{a}'}\sum_{{a}''} \langle \alpha|{a}'' \rangle \langle {a}''|\hat{A}|{a}' \rangle \langle {a}'|\alpha \rangle$$ y está de acuerdo con la intuición del valor medio medido $$\langle A\rangle = \sum_{{a}'} \lambda_{{a}'} \left | \langle {a}'|\alpha \rangle \right |^{2}$$ es decir, la suma de todos los valores medidos $\lambda_{{a}'}$, $\lambda_{{a}''},...$multiplicado por las probabilidades correspondientes de medir el valor particular, $\left | \langle {a}'|\alpha \rangle \right |^{2}$, $\left | \langle {a}''|\alpha \rangle \right |^{2},...$

30- Como se mencionó antes (ver 8) la notación presentada hasta ahora era para espacios vectoriales con dimensiones discretas (contables). En el caso de espacios vectoriales con dimensión continua (incontable), la notación cambia ligeramente.

Dejar$\hat{\eta}$representar un observable con autos continuos$|\eta \rangle$, entonces las definiciones anteriores cambian a

$$\begin{matrix} discrete & & continuous\\ \hat{A}|{a}'\rangle=\lambda_{{a}'}|{a}'\rangle &\rightarrow& \hat{\eta}|{\eta}'\rangle=\lambda_{{\eta}'}|{\eta}'\rangle\\ \langle{a}'|{a}''\rangle=\delta _{{a}'{a}''} & \rightarrow& \langle{\eta}'|{\eta}''\rangle=\delta \left ( {\eta}'-{\eta}'\right ) \\ \sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|=\mathbb{I} &\rightarrow& \int\mathrm{d}{\eta}'|{\eta}' \rangle\langle{\eta}'|=\mathbb{I} \\ |\alpha\rangle=\sum_{{a}'}|{a}'\rangle\langle{a}'|\alpha\rangle &\rightarrow & |\alpha\rangle=\int \mathrm{d}{\eta}'|{\eta}'\rangle\langle{\eta}'|\alpha\rangle\\ \end{matrix}$$ dónde $\delta \left ( {\eta}'-{\eta}'\right )$es la función delta de Dirac.

31- La posición, como observable, es un buen ejemplo de un espacio vectorial con dimensión continua. Dejar$\hat{X}$ser el operador de posición en una dimensión entonces

$$\hat{X}|{x}'\rangle=\lambda_{{x}'}|{x}'\rangle$$ y para cualquier estado aleatorio $|\alpha\rangle$tenemos $$|\alpha\rangle=\int \mathrm{d}{x}'|{x}'\rangle\langle {x}'|\alpha\rangle$$ Similar al caso discreto (ver 28) $$\left |\langle {x}'|\alpha\rangle \right |^{2}\mathrm{d}{x}'$$ se postula que es la probabilidad de encontrar la partícula en un pequeño intervalo $\mathrm{d}{x}'$alrededor del punto ${x}'$.

32- El término$\langle {x}'|\alpha\rangle$es la función de onda en el espacio de posiciones y se representa como

$$\psi_{\alpha}\left ( {x}' \right )=\langle {x}'|\alpha\rangle$$ Usando la definición de función de onda el producto interno $\langle \beta|\alpha\rangle$Se puede escribir como $$\begin{align*} \langle \beta|\alpha\rangle&=\int\mathrm{d}{x}'\langle \beta|{x}'\rangle\langle {x}'|\alpha\rangle \\&=\int\mathrm{d}{x}'\psi_{\beta}^*\left ( {x}' \right ) \psi_{\alpha} \left ( {x}' \right ) \end{align*}$$

[*] Adoptado del libro Modern Quantum Mechanics (Revised Edition) de JJ Sakurai, p 10-60.