Bra ket notación de manera rigurosa

Considere el caso de un espacio vectorial de dimensión contable, con algún conjunto ortonormal de bases kets$\left\{\vert\mathbf{e}_i\rangle\right\}$. La condición de ortonormalidad se establece como$\langle \mathbf{e}_i \vert \mathbf{e}_j \rangle = \delta_{ij}$, dónde$\delta_{ij}$es el delta de Kronecker. Entonces podemos expandir cualquier vector en esta base,

$$\vert \psi \rangle = \sum_i \psi_i \vert \mathbf{e}_i \rangle,$$ donde el$\psi_i$son los componentes de$\vert \psi \rangle$, es decir, son las proyecciones de$\vert \psi \rangle$Vectores de a lo largo de la base$\vert \mathbf{e}_i \rangle$, que podemos establecer de manera más técnica al notar que la matriz de identidad se puede escribir como $$I = \sum_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \langle \mathbf{e}_i \vert,$$ en ese caso $$\vert \psi \rangle = I \vert \psi \rangle = \sum_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle,$$ es decir $$\psi_i = \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle.$$

Ahora generalizamos esto a una base incontable. Por ejemplo, definimos la base de posición como el conjunto$\left\{\vert \mathbf{x} \rangle \,\vert\, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \right\}$. Ahora la condición de ortonormalidad se modifica ligeramente (para detalles técnicos, puede leer sobre espacios de Hilbert "amañados"),$\langle \mathbf{x} \vert \mathbf{x}' \rangle = \delta^{3}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$dónde$\delta^3$es el delta tridimensional de Dirac. Entonces podemos expandir el operador de identidad (ya no es una matriz cuando la base es incontable) como

$$I = \int_{\mathbb{R}^3} d^3\mathbf{x}\, \vert \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} \vert.$$ Entonces, como antes, desarrollamos un vector$\vert \psi \rangle$como $$\vert \psi \rangle = I\vert \psi \rangle = \int d^3\mathbf{x} \, \vert \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} \vert\psi \rangle \equiv \int d^3\mathbf{x} \, \psi(\mathbf{x})\,\vert \mathbf{x} \rangle,$$ entonces la función de onda$\psi(\mathbf{x})$es simplemente las componentes del vector$\vert \psi \rangle$Vectores de a lo largo de la base$\vert \mathbf{x} \rangle$, al igual que en el caso contable. La única diferencia es que ahora$\mathbf{x}$etiqueta los vectores base en lugar del índice discreto$i$. $$\psi_i \equiv \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle \leftrightarrow \psi(\mathbf{x}) \equiv \langle \mathbf{x} \vert \psi \rangle \quad\,\,$$ $$\vert\psi\rangle = \sum_i \psi_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \leftrightarrow \vert \psi \rangle = \int d^3\mathbf{x}\, \psi(\mathbf{x}) \vert \mathbf{x} \rangle$$ Para una introducción pedagógica, recomiendo las notas que se encuentran en esta página , en particular "Bloque 1: Fundamentos Matemáticos".

Puedes definir$|\Psi\rangle$como:

$$\begin{equation} |\Psi\rangle=\int \Psi(y) |y\rangle d^3y \end{equation}$$ Con$\{|y\rangle \ \,|\,y \in \mathbb{R}^3\}$la base del espacio de hilbert$H$de puestos Desde$\langle x|$es la forma lineal tal que$\langle x|(|y\rangle)\equiv \langle x|y\rangle=\delta^{(3)}(x-y)$tenemos : $$\begin{equation} \langle x|\Psi\rangle=\int \Psi(y) \delta^{(3)}(x-y) d^3y=\Psi(x) \end{equation}$$