¿Por qué usamos vectores en mecánica cuántica?

Pero en matemáticas (al menos hasta donde he estudiado: matemáticas de secundaria con un poco de álgebra lineal y álgebra geométrica), la definición y el uso de vectores gira en gran medida en torno al hecho de que tienen magnitud y dirección.

Probablemente esto no sea obvio para usted, pero las palabras clave en esta oración son "un poco" en lo que respecta al álgebra lineal.

En matemáticas desarrolladas, y particularmente en lo que respecta al álgebra lineal, los vectores no son "cosas que tienen magnitud y dirección". En cambio, esos conceptos toman asiento en la parte trasera del autobús, y reformulamos ese concepto como:

Los vectores son objetos que satisfacen los axiomas del espacio vectorial .

Esto incluye cosas como flechas con una magnitud y una dirección en dos o tres dimensiones, pero resulta que casi todo lo útil que se puede decir sobre flechas con una magnitud y una -dirección se sigue directamente de los axiomas del espacio vectorial (posiblemente aumentados con la noción de un producto interno (abstracto) ). Y, debido a que la manera de hacer que las matemáticas realmente prosperen es hacer las cosas lo más generales posible sin sacrificar los resultados, la forma en que desarrollamos las matemáticas para vectores es trabajar directamente para espacios vectoriales (es decir, cualquier objeto que satisfaga los axiomas), de modo que nuestros resultados serán útiles para flechas con una magnitud y una dirección, pero también para una amplia franja de otros objetos.

¿Qué tipo de otros objetos, preguntas? Bueno, como una pequeña selección:

• Flechas-con-una-magnitud-y-una-dirección pero en más de tres dimensiones, es decir, el espacio$\mathbb R^n$de$n$-tillizos de números reales. Lo cual, si realmente lo piensas, no se le puede asignar una "dirección" en términos geométricos verdaderamente comprensibles.
• Lo mismo pero con números complejos:$\mathbb C^n$funciona algebraicamente de la misma manera que$\mathbb R^n$, por lo que deberían aplicarse los mismos resultados, pero de nuevo no se puede interpretar como una "flecha" con una "dirección".
• Matrices, es decir$\mathbb R^{m\times n}$, que nuevamente siguen las mismas reglas algebraicas, con los mismos axiomas y por lo tanto las mismas consecuencias.
• Secuencias infinitas$\mathbb R^\infty = \{(x_1,x_2,\ldots) | x_j \in \mathbb R\}$.
• Espacios de funciones , que nuevamente obedecen a los mismos axiomas, por lo que también están sujetos a las consecuencias de esos axiomas.

En cuanto a la mecánica cuántica, muy a menudo trabajamos en espacios de dimensión finita como$\mathbb C^n$, en cuyo caso el lenguaje 'vector' es quizás más fácil de digerir, pero el lenguaje que le molesta es el uso del término 'vector' para algo que vive en un espacio funcional como, digamos,

La terminología "vector" detrás de un estado cuántico se justifica por el hecho de que los estados cuánticos son elementos de un espacio de Hilbert.$\mathcal{H}$(que es un espacio vectorial).

El producto interior$\langle\psi|\phi\rangle$es entonces el producto vectorial usual en el siguiente sentido. Suponer que$|\phi\rangle\in\mathcal{H}$y$\langle\psi|\in\mathcal{H}^*$, dónde$\mathcal{H}^*$es el espacio vectorial dual a$\mathcal{H}$.

$\mathcal{H}^*$consta de todas las funciones lineales$\langle\psi|:\mathcal{H}\to \mathbb{C}$, con la propiedad de que:

Esto también me desconcertó cuando comencé a aprender sobre QM. La idea clave es, de hecho, que debe dejar de pensar en los vectores como objetos con una dirección y una magnitud. Bueno, los estados cuánticos tienen una magnitud (y supongo que podrías asociarlos con una 'dirección'), pero no siempre es útil pensar en ellos de la misma manera que pensarías en los vectores como flechas en una hoja de papel. .

En la definición abstracta preferida por los matemáticos, un espacio vectorial se define como un espacio de objetos que (1) se pueden sumar y (2) se pueden multiplicar por escalares. En términos generales, estos son los únicos dos requisitos . En matemáticas, la noción de un 'vector' no se limita en absoluto a la intuición cotidiana de las flechas que apuntan en alguna dirección, e incluye todasobjetos que obedezcan los requisitos anteriores. Puede inventar muchos espacios vectoriales que no tienen nada que ver con los vectores comunes de la escuela secundaria; muchos de estos son útiles en física. La razón para pensar en todos estos como espacios vectoriales es que a los matemáticos les gusta escribir teoremas generales que se cumplen para todos los espacios vectoriales en general, o para ciertas grandes subclases de espacios vectoriales. Esto da como resultado una multitud de herramientas disponibles para todos los que se dedican a la mecánica cuántica.

Entonces, la razón por la que usamos espacios vectoriales para describir estados cuánticos es que los estados cuánticos también constituyen un espacio vectorial en este sentido: uno puede sumarlos y multiplicarlos por escalares, como creo que notaron. Una manera fácil de ver que los estados cuánticos obedecen los requisitos para un espacio vectorial es jugar con las funciones de onda, que son estados cuánticos escritos en la base de la posición: es obvio que estos pueden sumarse y multiplicarse por un escalar, aunque a menudo hay que preocuparse por la normalización.

Otra idea muy útil de la teoría de los espacios vectoriales es el uso de una base, que es un conjunto de vectores, lo que permite que cada estado se exprese como una combinación lineal de vectores base. Uno puede descomponer un estado cuántico en estados propios de posición, estados propios de energía, estados propios de momento o lo que uno quiera, usando herramientas matemáticas que son análogas a vectores base cambiantes en 3D. La idea de aplicar matrices a vectores es análoga a aplicar operadores a estados cuánticos, y resulta que también involucra matemáticas similares.

La noción de un producto interno es en realidad una estructura adicional que no se incluye automáticamente en todos los espacios vectoriales. En QM, esta estructura adicional de producto interno también resulta muy útil, porque permite tomar la norma de estados y calcular los valores esperados de los operadores, pero tenga en cuenta que no todos los espacios vectoriales vienen con un producto interno.

Dices que "no asociamos estas dos cualidades clave [magnitud y dirección] con vectores en la mecánica cuántica". Es cierto que la magnitud del vector no tiene significado, pero la dirección es muy importante. No es una "dirección" en el sentido cotidiano de la palabra, ya que no estamos hablando de un espacio vectorial real en 3D. Pero es normal en matemáticas usar$n$-espacios vectoriales dimensionales, también espacios vectoriales complejos, y todavía llaman a los objetos "vectores".

Dicho de otra manera, la mejor manera de describir un estado cuántico es como una dirección en un espacio vectorial abstracto. Las direcciones se representan comúnmente como vectores normalizados en ese espacio, eso es lo que hacemos en mecánica cuántica.

Deberías buscar más álgebra lineal. En álgebra lineal, la noción de vector se vuelve considerablemente más abstracta: en particular, los vectores son simplemente cualquier objeto para el cual tenemos la noción de sumar dos de ellos y multiplicar por un número (un escalar), que por supuesto también satisfacer ciertos principios básicos familiares de la aritmética, como la conmutatividad y la asociatividad, que ya debería conocer debido a su formación en álgebra. Por supuesto, esto se deriva en última instancia del contexto del "vector euclidiano", es decir, "flechas desde el origen" que puede alargar y acortar y sumar colocando la cola en la punta y formando el paralelogramo, pero es considerablemente más general porque hay muchas otras cosas que también funcionan de esta manera, como funciones e incluso matrices.

La razón de esto en la Mecánica Cuántica es que desea poder formar superposiciones: todo el asunto del "gato de Schrödinger", que es absolutamente fundamental y completo a escala cuántica.

Quizás sería mejor caminar a través de una especie de construcción matemática de un espacio vectorial simple del tipo utilizado en la mecánica cuántica para entender lo que está sucediendo.

Empezamos, por supuesto, con un conjunto vacío,$S := \emptyset$. Ahora, insertamos en este conjunto dos elementos que denotaremos$|\mbox{live cat}\rangle$y$|\mbox{dead cat}\rangle$. Estas dos cosas son objetos "primitivos": no debe tratar de pensar en ellos como algo con un "valor" que puede "evaluar". Esta es una falla matemática común; estamos tan acostumbrados a, digamos, tomar la expansión decimal de un número real y asociar en nuestras mentes que esta es la "verdad" "detrás" de un símbolo como$\pi$, por ejemplo, cuando en realidad no tiene ni más ni menos "verdad" que otra cosa equivalente, como$4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \cdots\right)$, es decir, la serie de Madhava, ¡y en todo caso debido a su patrón simple, esta última es una representación mucho más preferible que el decimal! Más bien son solo dos objetos, si te gusta el "significado" detrás de ellos es lo que está en la etiqueta. Lo que tienes que hacer aquí es olvidarte de la tendencia a "calcular" las cosas.

Pero, por supuesto, necesitamos más. ¿Qué pasa cuando la caja está cerrada? Necesitamos algo como$|\mbox{live cat}\rangle + |\mbox{dead cat}\rangle$. Sabes lo que es eso. Así que le sumamos eso$S$también.

Sin embargo, también podemos tener otras combinaciones posibles. Por un lado, mencionamos la necesidad de cambiar la escala de los vectores, por lo que para$|\mbox{live cat}\rangle$también deberíamos agregar todas sus escalas al conjunto:$\alpha |\mbox{live cat}\rangle$para algún número complejo$\alpha$. Estos no hacen nada físicamente, pero cobran importancia porque nos permiten ponderar las combinaciones en una superposición. Podemos hacer lo mismo para$|\mbox{dead cat}\rangle$también. Si revisa todos estos y considera varias sumas, por ejemplo,$|\mbox{live cat}\rangle + 2|\mbox{dead cat}\rangle + (i|\mbox{dead cat}\rangle - [35 - \tau i]\mbox{live cat}\rangle)$, etc. y utiliza las leyes de la aritmética como la asociatividad y la combinación de términos similares para simplificarlos (porque debe poder hacerlo para que esto tenga sentido como un espacio vectorial abstracto), verá rápidamente que cada elemento debería ser, en general, algo como

y podemos considerarlos todos juntos, ponerlos en el conjunto$S$, como la definición del espacio vectorial para este sistema, que contiene todas las formas posibles en que se puede superponer el gato de Schrödinger, incluidos los estados vivo/muerto clásicos y todos los estados "peculiares", y podemos superponer cualquiera de ellos de la forma que queramos. Si no tuviéramos esta capacidad, no podríamos dar sentido a este sistema, ni a ningún otro sistema cuántico.