Al determinar si un vector ket está normalizado, ¿debe ser el ket conjugado complejo?

Aquí$A$es solo un número cuántico (o un conjunto de números cuánticos) que etiqueta un vector, por lo que no necesita conjugarse. productos como$\langle A^*|A\rangle$sucede, por ejemplo, cuando se trata de estados coherentes, pero en este caso$|A\rangle$y$|A^*\rangle$son estados diferentes.

La forma exacta de evaluar el producto.$\langle A|A\rangle$depende de la representación con la que trabajes. Por ejemplo, si estos son dos estados en la representación de coordenadas,$\varphi_n(x), \varphi_m(x)$, tenemos

$$\langle n|m\rangle = \int dx \varphi_n^*(x)\varphi_m(x).$$ Si estos son vectores columna, entonces $$|\uparrow\rangle =\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}, \langle\uparrow|=\begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix},$$ y $$\langle\uparrow|\uparrow\rangle = \begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix}.$$

Finalmente, como ya puede haber quedado claro a partir de los ejemplos, el factor de normalización se puede incluir como un factor numérico simple. es decir, si$|A\rangle$es un estado no normalizado, entonces su versión normalizada es$|B\rangle=c|A\rangle$, y este factor de hecho está conjugado:

$$\langle B|B\rangle = |c|^2\langle A|A\rangle=1 \Rightarrow |c|^2=\frac{1}{\langle A|A\rangle}.$$

La manera fácil de manipular kets es usar la resolución de la unidad tanto como sea posible.

$$\int d^3x |x\rangle \langle x| = 1$$ Del mismo modo en el espacio de momento $$\int d^3p |p\rangle \langle p| = 1$$ Entonces tiene $$\langle A |A \rangle = \int d^3x \langle A|x\rangle \langle x|A \rangle$$

y desde$\langle A|x\rangle$es conjugado complejo de$\langle x|A \rangle$está claro que la conjugación compleja se aplica a las funciones de onda, no a los números cuánticos