¿Cuál es la forma funcional de un vector ket en la base de posición?

Question

¿Cuál es la forma funcional de un vector ket en la base de posición?

Schoppe

$\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\langle#1}$

Esta es una pregunta que me ha confundido durante mucho tiempo, ¿cuál es la forma funcional real de un vector ket, específicamente en la base de posición? Supongo que la respuesta es que el vector ket es demasiado abstracto para tener una forma funcional, excepto quizás en circunstancias específicas, pero déjame tratar de explicar mi confusión. En la sección 1.10 de Shankar, describe una función que se expande como una serie de kets como tal:

Denotemos por $f_n(x)$ la aproximación discreta a $f(x)$ que concuerda con ella en $n$ puntos y desaparece en el medio. Interpretemos ahora el orden $n$ -tupla { $f_n(x_1)$ , $f_n(x_2)$ ,..., $f_n(x_n)$ } como componentes de un ket $\ket{f_n}$ en un espacio vectorial $V^n(R)$ :
$| F_{norte} ⟩ \leftrightarrow [\begin{matrix} F_{norte} (X_{1}) \\ F_{norte} (X_{2}) \\ ⋮ \\ F_{norte} (X_{norte}) \end{matrix}]$ $\ket{f_n}\leftrightarrow \begin{bmatrix} f_n(x_{1}) \\ f_n(x_{2}) \\ \vdots \\ f_n(x_{n}) \end{bmatrix}$ Los vectores base en este espacio son: $| X_{i} ⟩ \leftrightarrow [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]$ $\ket{x_i}\leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ correspondiente a la función discreta que es la unidad en $x=x_i$ y cero en otros lugares. (...) Trate de imaginar un espacio que contenga $n$ ejes mutuamente perpendiculares, uno para cada punto $x_i$ . A lo largo de cada eje hay un vector unitario $\ket{x_i}$ . La función $f_n(x)$ está representado por un vector cuya proyección a lo largo de la $I$ la dirección es $f_n(x_i)$ : $| F_{norte} ⟩ = \sum_{i = 1}^{norte} F_{norte} (X_{i}) | X_{i} ⟩$ $\ket{f_n}=\sum_{i=1}^n f_n(x_i)\ket{x_i}$

Esta discusión parece implicar que un ket $\ket{x}$ es un delta kronecker o más realista $\ket{x}=\int dx^\prime\delta(x-x^\prime)|x'\rangle$ . La razón por la que soy escéptico de esto es que esto requeriría un número incontablemente infinito de deltas de Dirac para definir la totalidad de un espacio de posición física, ya que Shankar relaciona claramente cada punto en el espacio con un ket distinto.

Yo también soy escéptico dado que $\int dx^\prime\delta(x-x^\prime)$ es un funcional y por lo tanto debe vivir en el espacio dual, que es el espacio de los sujetadores (aunque entiendo que hay una correspondencia uno a uno entre los dos, aunque no estoy seguro de cómo verlo explícitamente en este caso). Sé que esta discusión a menudo incluye la idea de un "Espacio de Hilbert amañado", como aquí , sin embargo, no sigo completamente la discusión que se está teniendo. ¿La discusión de Shankar aquí es puramente superficial y no pretende representar las matemáticas subyacentes?

Para aumentar mi confusión, puedo imaginar una función de onda definida en un intervalo finito. Podemos expandir esta función en términos de una serie de potencias de polinomios. En este caso, casi con certeza asociaríamos $\ket{x}$ con $\ket{x_n}=x^n$ ya que la función se expandiría correctamente como:

F (X) = \sum_{norte = 0}^{\infty} a_{norte} X^{norte} = \sum | X ⟩ ⟨ X | F ⟩

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum \ket{x}\bra{x}\ket{f}$ en el que claramente

a_{n} = ⟨ x | f ⟩

$a_n=\bra{x}\ket{f}$ y por lo tanto

| x ⟩ = x^{n}

$\ket{x}=x^n$ , ya que los polinomios ahora forman la base (o al menos una combinación lineal de polinomios forma estados de base, es decir, polinomios de Laguerre). Esto difiere de la interpretación anterior de kets como deltas de Dirac.

¡Cualquier discusión o recurso que pueda señalarme sobre esto sería muy apreciado!

ZeroTheHero

posible duplicado de physics.stackexchange.com/questions/364208/…

ZeroTheHero

La debilidad aquí es

| x_{n} ⟩ \to x^{n}

$\vert x_n\rangle\to x^n$ , que no tiene sentido en la forma en que la base de los estados propios de

\hat{x}

$\hat x$ esta construido. De hecho,

f (x)

$f(x)$ se interpreta como un número (la función evaluada en

x

$x$ ) no es un vector en el espacio de Hilbert. el vector seria

| f ⟩

$\vert f\rangle$ , mientras que la componente del vector a lo largo del estado base

| x ⟩

$\vert x\rangle$ es

⟨ x | f ⟩ = f (x) \in C

$\langle x\vert f\rangle=f(x)\in \mathbb{C}$ .

Schoppe

Gracias por compartir el enlace anterior. ¿Esto implica entonces que

| x ⟩

$|x\rangle$ es solo la recta numérica real? ¿O al menos es esa una forma apropiada de pensar en ello?

ZeroTheHero

No exactamente. El argumento

x

$x$ es un valor específico en la línea real pero

| x ⟩

$\vert x\rangle$ es un vector, por lo que

I = \int d x | x ⟩ ⟨ x |

$\mathbb{I}=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$ generaliza al caso continuo la suma

\sum_{k} | k ⟩ ⟨ k |

$\sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$ en el caso discreto.

Respuestas (2)

¿Cuál es la forma funcional de un vector ket en la base de posición?

posible duplicado de physics.stackexchange.com/questions/364208/…
La debilidad aquí es $\vert x_n\rangle\to x^n$ , que no tiene sentido en la forma en que la base de los estados propios de $\hat x$ esta construido. De hecho, $f(x)$ se interpreta como un número (la función evaluada en $x$ ) no es un vector en el espacio de Hilbert. el vector seria $\vert f\rangle$ , mientras que la componente del vector a lo largo del estado base $\vert x\rangle$ es $\langle x\vert f\rangle=f(x)\in \mathbb{C}$ .
Gracias por compartir el enlace anterior. ¿Esto implica entonces que $|x\rangle$ es solo la recta numérica real? ¿O al menos es esa una forma apropiada de pensar en ello?
No exactamente. El argumento $x$ es un valor específico en la línea real pero $\vert x\rangle$ es un vector, por lo que $\mathbb{I}=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$ generaliza al caso continuo la suma $\sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$ en el caso discreto.

SolublePeces · Answer 1

El espacio de Hilbert para un $1D$ partícula sin espín es $\mathcal H = L^2(\mathbb R)$ . Para cada $x\in \mathbb R$ , $|x\rangle$ no es un elemento de $\mathcal H$ , por lo que no es un ket adecuado (en los cursos elementales de QM, esto se menciona a menudo como el hecho de que no es normalizable).

Sin embargo, en el formalismo del espacio de Hilbert amañado , podemos darle sentido como un ket generalizado y ecuaciones como $\langle \psi|x\rangle = \psi^*(x)$ y $\mathbb I = \int \text d x |x\rangle\langle x|$ son verdaderas. (Tenga en cuenta que hay uno $|x\rangle$ para cada $x\in\mathbb R$ .) Creo que Shankar está tratando de justificar heurísticamente el hecho de que no debería preocuparse demasiado por estas sutilezas (al menos al principio) y que está perfectamente bien usar $|x\rangle$ como un ket normal.

Por supuesto, para que sea matemáticamente sólido, necesita un espacio de Hilbert amañado. $\Phi\subset \mathcal H \subset \Phi^\times$ , en cuyo caso, para todos $x\in\mathbb R$ , puede definir un funcional antilineal continuo en $\Phi$ por :

\forall ψ \in Φ, ⟨ ψ | X ⟩ = ψ^{*} (X) = \int d X^{'} ψ^{*} (X^{'}) d (X^{'} - X)

$\forall \psi \in\Phi, \langle \psi|x\rangle = \psi^*(x) = \int \text dx'\psi^*(x')\delta(x'-x)$

Ahora, sobre tu idea de tomar polinomios como base para $\mathcal H =L^2([a,b])$ : esto definitivamente es posible, pero sería muy confuso escribir esos ket $|x\rangle$ (ya que generalmente se entiende que esto es lo que describí anteriormente). Las funciones $\psi_n(x) = x^n$ abarcan un subconjunto denso, pero no son ortonormales, por lo que no tiene la relación de cierre $\sum_n |\psi_n\rangle\langle \psi_n| = \mathbb I$ . Aplicando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt , obtendrás una base ortonormal $\big\{|n\rangle\big\}$ de funciones de onda polinómicas.

¡Gracias! Este es exactamente el tipo de discusión y respuesta que estaba buscando. ¿Conoce algún recurso que discuta esto en detalle? La idea de usar un "objeto" no renormalizable que ni siquiera es parte del espacio de Hilbert como base para el espacio de Hilbert siempre me dejó confundido. Griffiths habla de ello momentáneamente cuando analiza los estados propios del impulso, pero luego no ofrece ninguna aclaración. ¿Cómo se ha tratado tradicionalmente este problema, es decir, antes del uso de un Rigged Hilbert Space?
Para obtener recursos sobre los espacios de Rigged Hilbert, puede comenzar con las explicaciones y los recursos proporcionados en las respuestas aquí .

Cosmas Zachos · Answer 2

La discusión de Shankar no es

puramente superficial y no destinado a representar las matemáticas subyacentes.

Te dice precisamente que los kets son vectores; por lo tanto, nunca debe tener una ecuación con kets abiertos en un lado y funciones puras (números) en el otro. En ese sentido, varias ecuaciones después de tu punto "escéptico" no tienen ningún sentido, pero no sé qué buscas.

Siguiendo el paradigma discreto, aquí hay algunas ecuaciones correctas, posiblemente útiles para algunas de sus confusiones,

| F ⟩ = \int d X F (X) | X ⟩ \equiv \int d X ⟨ X | F ⟩ | X ⟩ ⇝ F (X^{'}) = ⟨ X^{'} | F ⟩ = \int d X F (X) ⟨ X^{'} | X ⟩ = \int d X F (X) d (X - X^{'}) .

Si quieres una foto $|x\rangle$ , piense en un vector de dimensión infinita, cuyas entradas combinadas (sus intervalos/peldaños se han reducido a un continuo) corresponden al valor de x . Entonces $|137.4848\rangle$ es un vector vacío en todas partes excepto en la ubicación/paso 137.4848, donde el componente es infinito.

El punto que estaba tratando de hacer es que puedes formar una base usando los polinomios tal que una función $f(x)$ se puede expresar como $f(x)=\sum a_n x^n$ donde el conjunto de vectores base son { $1,x,x^2,x^3,...$ }. Nosotros decimos eso $|x|rangle$ forma una base para el espacio de posición, por lo que estaba tratando de establecer una equivalencia entre estas dos nociones. Si $|x\langle$ corresponde a una función delta de Dirac, esto todavía no aclara cómo, debido a que una delta de Dirac no es una función sino un funcional, pertenece al espacio dual y no al espacio vectorial.
La función delta de Dirac opera aquí como una función, no como un funcional. Es la función de onda de la posición ket, como subraya Dirac en su libro.

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