En mecánica cuántica, ¿es |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle igual a ψ(x)ψ(x)\psi(x)?

Para empezar, los kets son vectores, lo que significa que si queremos una realización explícita de ellos, deberíamos escribirlos con respecto a alguna base. La primera base que la mayoría de la gente ve es la base de posición, donde los kets de base son los estados de posición definida. Entonces, un estado arbitrario$|\psi\rangle$Se puede escribir como

dónde$\psi(x)$es la conocida función de onda del espacio de posición. Esto debería ayudar a explicar por qué la última línea tiene la integral, proviene de esta superposición de estados de posición definida.

Ahora a reescribir$\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle$, sucede exactamente lo mismo, pero la razón por la que no hay integrales es porque el$\hat{H}$en$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$se escribe ahora como un operador diferencial que actúa sobre el espacio de posición, en lugar de un operador que actúa de alguna manera sobre un ket arbitrario. Esto podría ser un ligero abuso de la notación, pero por lo general queda claro por el contexto en qué base está escrito el hamiltoniano en una ecuación dada.

El estado de un sistema cuántico es un elemento de un espacio vectorial (específicamente un espacio de Hilbert). la notación$|\psi\rangle$se utiliza para etiquetar un vector particular en este espacio. Operadores como$\hat{H}$mapear estados en el espacio de Hilbert a otros estados en el espacio de Hilbert, entonces$\hat{H} |\psi\rangle = |\phi\rangle$, dónde$|\phi\rangle$es otro estado en el espacio de Hilbert. Algunos vectores pueden ser vectores propios de un operador, en cuyo caso podemos escribir$\hat{H}|\psi\rangle = E |\psi\rangle$(dónde$E$es solo un número regular, el valor propio).

Si estamos considerando una función de onda que describe el movimiento de una partícula en el espacio real, entonces podríamos estar interesados ​​en la dispersión de la función de onda en el espacio. El espacio de Hilbert en este caso es de dimensión infinita. Una elección natural para los vectores base en los que expandirse$|\psi\rangle$es la posición autoestados$|x\rangle$, dónde$x$es cualquier posición en el espacio real.$|\psi\rangle$siempre se puede expresar como una superposición de diferentes estados básicos con diferentes amplitudes en cada estado básico:

Podemos relacionarnos formalmente$\psi(x)$a$|\psi\rangle$de la siguiente manera: tome el producto interno de la expansión de$|\psi\rangle$en la base de posición con cualquier estado propio de posición particular$|x'\rangle$:

Entonces$\psi(x) = \langle x | \psi \rangle$. Es decir, la amplitud de la función de onda en una posición$x$viene dada por la proyección del estado$|\psi\rangle$sobre el estado base definido en la posición$x$,$|x\rangle$.

Esto es algo que también me confundió durante un tiempo cuando estaba aprendiendo por primera vez sobre la mecánica cuántica. Primero, creo que es importante entender el concepto de diferentes 'espacios'. Los físicos se ocupan de muchos espacios diferentes: el antiguo espacio real 3D habitual en el que vivimos, y montones y montones de "espacios" abstractos.

El espacio de Hilbert de una partícula es el 'espacio' de todos los estados posibles en los que puede estar la partícula. NO es el mismo espacio 3D en el que la partícula realmente 'se mueve'. El espacio de Hilbert también obedece las leyes usuales del álgebra lineal, y es de dimensión infinita (tan infinitamente dimensional como el espacio real es tridimensional).

En particular, la dimensionalidad es igual al número de puntos en el espacio, y el conjunto de vectores base es$\{\,|x\rangle\,|\,x\in \mathbb{R}\}$. El significado de$|x\rangle$como estado es ``la partícula está situada en x".$|x\rangle$es también un vector base del espacio de Hilbert; tenga en cuenta que hay uno para cada x. Entonces$|2.77\rangle$,$|-\sqrt{3}\rangle$,$|\pi\rangle$, y$|42\rangle$son todos vectores base, como lo son otros infinitos.

La ecuación importante es en realidad$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$. Esta es la versión 'adecuada' de su$|\psi \rangle \rightarrow \psi(x)$. el vector$|\psi\rangle$vive en el espacio de Hilbert y es el objeto matemático abstracto que representa el estado de la partícula. La ecuacion$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$esencialmente dice que el producto escalar de$| x\rangle$y$|\psi\rangle$, o, 'la componente del vector$|\psi\rangle$a lo largo de$|x\rangle$dirección' es igual a un número al que llamamos$\psi(x)$. Debido a la dimensión infinita, puede tomar todos estos productos escalares (es decir, todos los componentes de$|\psi\rangle$a lo largo de todas las 'direcciones' posibles) y unirlas en una función continua, la función de onda.

Técnicamente hablando si$\vert \psi\rangle\to \psi(x)$entonces$\langle\psi\vert\to \int \,dx\, \psi(x)^*$. El símbolo integral garantiza que al pegar un sostén y un ket juntos,$\langle \phi \vert \psi\rangle$, es un producto escalar y un número (generalmente complejo), da lo mismo que el número calculado como$\int dx \phi^*(x)\psi(x)$.

Más específicamente,$\psi(x)$realmente es$\langle x\vert\psi\rangle$, según esta pregunta . Usando$\langle x\vert\psi\rangle =\psi(x)$permite interpretar$\psi(x)$como el componente de$\vert\psi\rangle$a lo largo del vector base$\vert x\rangle$. Si compras esto, también puedes expresar$\vert \psi\rangle$en la base del impulso, donde$\psi(p)=\langle p\vert\psi\rangle$.

Incluso hay estados, como estados de giro$\vert \pm\rangle$, para el cual no existe una función de onda "espacial", es decir$\langle x\vert +\rangle$no tiene sentido ya que el grado de libertad de espín tiene dimensiones físicas.

La notación de Dirac es, por lo tanto, una forma de enfatizar la naturaleza vectorial de los estados, que pueden combinarse y multiplicarse por escalares al igual que los vectores. También enfatiza que expresar$\psi(x)$o$\psi(p)$, es decir, la función de onda en el espacio de posición o momento, es básicamente una elección de base, muy similar a elegir expresar un vector en coordenadas esféricas o cartesianas. Efectivamente, para pasar de una base a otra necesitamos la fórmula de transición$\langle x\vert p\rangle \sim e^{-i p x/\hbar}$.

En realidad no es el caso que$\langle \psi | = \psi(x)^*$. Una afirmación más precisa sería la siguiente.

este sujetador$\langle \psi |$por lo tanto, puede pensarse como una función que mapea los estados de ket$| \phi \rangle$a un número complejo.

Cuando el espacio de estado es el espacio de Hilbert proyectivizado de$L^2$funciones en$ℝ^1$,$|\psi\rangle$es por definición el nombre de la clase de equivalencia representada por la función$\psi$.$\langle\phi|\psi\rangle$es por definición lo mismo que$\int|\phi(x)\psi(x)|$(cuando el espacio de estado es el espacio de Hilbert proyectivizado de$L^2$funciones en$ℝ^1$".).