¿Cuál es el producto interno entre un ket de posición y un ket de dos estados (o de múltiples estados)?

no puedes hacer$\langle \mathbf{r} | + \rangle$, porque estarías mezclando dos espacios de Hilbert diferentes. Los Estados$|+\rangle$y$|-\rangle$son una base para el espacio de Hilbert de un sistema de giro de dos estados, que es bidimensional. Mientras tanto, los estados$|\mathbf{r}\rangle$son la base para el espacio de Hilbert de una partícula sin espín que se mueve en$\mathbb{R}^3$(o su dimensión favorita), que es infinitamente dimensional (es el espacio de las funciones de onda). Sería como preguntar cuál es el producto escalar de$(2,3)$y$(-1,5,2)$es: no tiene sentido, los dos vectores pertenecen a espacios diferentes.

Lo que puede hacer, si tiene una partícula de giro 1/2 moviéndose$\mathbb{R}^k$, es combinar los dos espacios en algo llamado producto tensorial. Muy a grandes rasgos, si$V$y$W$son espacios vectoriales con bases$\{|v_i\rangle\}$y$\{|w_j\rangle\}$y dimensiones$n$y$m$, el producto tensorial$V \otimes W$es un espacio con dimensión$nm$y elementos básicos dados por$|v_i\rangle |w_j\rangle$para todos$(i,j)$.

En nuestra situación, los elementos básicos de una partícula de espín 1/2 que se mueve serían de la forma$|\mathbb{r}\rangle |+\rangle$y$|\mathbb{r}\rangle |-\rangle$; si estamos en una dimensión, un estado general podría expresarse como

$$|\psi\rangle = \int dx\, \psi_+(x) |x\rangle |+\rangle + \int dx\, \psi_-(x) |x\rangle |-\rangle.$$

Puede ver que tenemos que especificar una función de onda para cada uno de los estados de espín. Tomando el producto interno con algunos$\langle x|$todavía nos dejaría con la parte giratoria:

$$\langle x | \psi \rangle = \psi_+(x) |+\rangle + \psi_-(x) |-\rangle.$$