Función de onda como vector ket en un espacio de Hilbert

Question

Función de onda como vector ket en un espacio de Hilbert

Usuario3141

Hay algo que no entiendo: he aprendido que las funciones de onda cuánticas se pueden describir como un "vector ket" en un espacio vectorial abstracto llamado espacio de Hilbert. La función de onda de posición, por ejemplo, utilizada para expresar la probabilidad de encontrar la partícula en un punto, puede describirse como un vector en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Pero también tenemos la función de onda utilizada para describir el giro ("spinor"), y esta función de onda existe en un espacio de Hilbert bidimensional. Entonces mi pregunta es, ¿cuál es la relación entre estas dos funciones de onda diferentes? Quiero decir, ambos se representan como una representación del estado de una partícula, pero claramente no son lo mismo. También escuché que la función de onda contiene todo lo que hay que saber sobre la partícula, pero estoy como, "

Respuestas (3)

Función de onda como vector ket en un espacio de Hilbert

Tomas Fritsch · Answer 1

Aprendí que las funciones de onda cuánticas se pueden describir como un "vector ket" en un espacio vectorial abstracto llamado espacio de Hilbert. La función de onda de posición, por ejemplo, utilizada para expresar la probabilidad de encontrar la partícula en un punto, puede describirse como un vector en un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Parece que estás hablando de la función de onda de posición.

\begin{matrix} (1) & ψ (\vec{r}) . \end{matrix}

$\psi(\vec{r}). \tag{1}$ Sí, esta función es miembro de una

\infty

$\infty$ espacio de Hilbert -dimensional porque hay infinitas posiciones

\vec{r}

$\vec{r}$ . Sin embargo, este tipo de función de onda solo puede representar una partícula sin espín , pero no puede describir una partícula con espín (por ejemplo, un electrón).

Pero también tenemos la función de onda utilizada para describir el giro ("spinor"), y esta función de onda existe en un espacio de Hilbert bidimensional.

Solo para aclarar: un espinor es un "vector" que consta de 2 números complejos (sin ninguna dependencia de la posición $\vec{r}$ ), como

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} ψ_{+} \\ ψ_{-} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\begin{pmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{pmatrix}. \tag{2}$ Entonces este espinor es miembro de un espacio de Hilbert bidimensional. Este espinor de 2 componentes se puede visualizar como un asta de bandera con una bandera.

_{(imagen de Una introducción a los espinores )}

Al girar un espinor sus 2 componentes se transforman de forma bien definida. Para obtener más información, consulte Una introducción a los espinores (especialmente las páginas 2 a 5) de Andrew Steane.

Entonces mi pregunta es, ¿cuál es la relación entre estas dos funciones de onda diferentes?

La función de onda real de un electrón (o cualquier otra función de espín) $\frac{1}{2}$ partícula para el caso) es el producto tensorial de (1) y (2) arriba.

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} ψ_{+} (\vec{r}) \\ ψ_{-} (\vec{r}) \end{matrix}) \end{matrix}

$\begin{pmatrix}\psi_+(\vec{r}) \\ \psi_-(\vec{r})\end{pmatrix} \tag{3}$ Entonces esta función es miembro de una

\infty \times 2

$\infty\times 2$ espacio de Hilbert -dimensional.

ψ_{+} (\vec{r})

$\psi_+(\vec{r})$ es la probabilidad-amplitud de que la partícula esté en la posición

\vec{r}

$\vec{r}$ y tener spin-up. Asimismo

ψ_{-} (\vec{r})

$\psi_-(\vec{r})$ es la probabilidad-amplitud de que la partícula esté en la posición

\vec{r}

$\vec{r}$ y teniendo spin-down.

Quiero decir, ambos se representan como una representación del estado de una partícula, pero claramente no son lo mismo. También escuché que la función de onda contiene todo lo que hay que saber sobre la partícula, pero estoy como, "¿qué función de onda?"

Es la función de onda de espinor dada en (3) que contiene todo lo que se puede conocer sobre la partícula.

Wow, eso es realmente asombroso. Entonces, el estado completo de una partícula es un vector ket en algún espacio de Hilbert, y este vector contiene información sobre todo lo que puede saber sobre la partícula, como giro, posición, momento, energía, etc. Entonces, en ese sentido, ¿la función de onda nos dice todo lo que hay que saber sobre la partícula?
Pequeño comentario técnico: creo que debería ser el producto tensorial, no el cartesiano (que se llama suma directa, cuando se trata de espacios vectoriales/Hilbert).
@coconut Gracias, parece que tienes razón. Arreglé mi respuesta.
Es un poco engañoso representar un espinor simplemente como una columna de números complejos. Debería haber una advertencia: lleva una representación del grupo de giro, que es una versión del grupo de Lorentz.
coco, sí, también pensé que era extraño que usara el producto cartesiano, pero asumí que era un error tipográfico y que se refería al producto tensorial, y afortunadamente tenía razón :)
@JamalS Estaba simplificando demasiado aquí a propósito para evitar perderme en la teoría de la representación, como $SU(2) \cong Spin(3) \to SO(3)$ .
Estoy de acuerdo, pero estaba pensando en agregar la advertencia de que es una columna de números que se transforman de una manera especial y luego agregar un enlace a una referencia apropiada, solo para que incluso los lectores que no han cubierto la teoría de las repeticiones sepan que no deberían hacerlo. No tome esto completamente al pie de la letra.
@JamalS De acuerdo. He vinculado un artículo de nivel introductorio.

AccidentalTaylorExpansion · Answer 2

Así que empecemos sin girar. Puede extraer la función de onda del 'vector ket' tomando el producto interno con el $|x\rangle$ estado. El $|x\rangle$ ket representa un estado con una posición definida donde una partícula se localiza completamente en $x$ . Este no es un estado físico (no se puede normalizar), pero sigue siendo una herramienta útil. Luego se extrae la función de onda como

ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩

$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ Esto puede parecer extraño cuando nunca lo has visto escrito de esta manera, pero aclara muchas cosas. El

| x ⟩

$|x\rangle$ estados forman una base ortonormal:

⟨ X | y ⟩ = d (X - y) \int d X | X ⟩ ⟨ X | = 1

$\langle x|y\rangle=\delta(x-y)\\ \int dx|x\rangle\langle x|=\mathbb{1}$ y para convencerte de que esto es correcto, puedes calcular el producto interno de la función de onda:

\begin{aligned} ⟨ ψ | ψ ⟩ & = ⟨ ψ | (\int d X | X ⟩ ⟨ X |) | ψ ⟩ \\ = \int d X ⟨ ψ | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ \\ = \int d X ψ^{*} (X) ψ (X) \end{aligned}

$\begin{align}\langle\psi|\psi\rangle&=\langle\psi|\left(\int dx|x\rangle\langle x|\right)|\psi\rangle\\ &=\int dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle\\ &=\int dx\ \psi^*(x)\psi(x) \end{align}$ Para extender esto a spin consideramos el estado

| x, α ⟩

$|x,\alpha\rangle$ . Este es un estado con posición

x

$x$ y girar

α

$\alpha$ . Para una partícula de giro 1/2

α

$\alpha$ podría ser arriba y abajo:

α = {↑, ↓}

$\alpha=\{\uparrow,\downarrow\}$ . Para la función de onda esto significa

ψ_{α} (X) = ⟨ X, α | ψ ⟩

$\psi_\alpha(x)=\langle x,\alpha|\psi\rangle$ Podemos recoger el

α

$\alpha$ componentes en un vector columna. Para la partícula de espín 1/2:

(\begin{matrix} ψ_{↑} (X) \\ ψ_{↓} (X) \end{matrix})

$\begin{pmatrix}\psi_\uparrow(x)\\ \psi_\downarrow(x)\end{pmatrix}$ Los estados de espín también forman una base ortonormal. Entonces, para completar, el producto interno se convierte en

⟨ ψ | ψ ⟩ = \sum_{α} \int d X ψ_{α}^{*} (X) ψ_{α} (X)

$\langle\psi|\psi\rangle=\sum_\alpha\int dx\ \psi_\alpha^*(x)\psi_\alpha(x)$

Esto fue un poco más de lo que pediste, pero espero que quede más claro de esta manera.

Sí, muchas gracias por esta respuesta, son este tipo de respuestas (las que profundizan un poco más) las que más me gustan. También fue muy claro, y creo que entendí todo.

Carlos Francisco · Answer 3

Sí, la terminología a veces es un poco descuidada. El espacio de Hilbert es en realidad el producto del espacio de Hilbert de dimensión infinita definido en $\mathbb R^3$ y espacio de espinores de dos dimensiones (o en qm relativista, espacio de 4 dimensiones de espinores de Dirac). Mi recomendación es ignorar la terminología y centrarse en la estructura matemática. La función de onda se puede restringir a cualquier espacio, y eso es de lo que habla la gente. Pero cuando dice "la función de onda contiene todo lo que hay que saber sobre la partícula", esto se refiere a la función de onda completa, no a su restricción a la posición o al espacio de giro,

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