En la derivada del producto de dos funciones, ¿por qué se ignora (dx)²?

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En la derivada del producto de dos funciones, ¿por qué se ignora (dx)²?

cálculo
productos
derivados
Matemáticas

hassen dhia

Estaba profundizando en los fundamentos del cálculo, encontré que en el famoso canal '3Blue1Brown', al demostrar el proceso de encontrar la derivada del producto de dos funciones, (dx) ² se ignora porque se vuelve muy pequeño cuando dx es acercándose cada vez más a cero.

Creo que nuestro cálculo puede ser más preciso si no lo ignoramos, en realidad creo que no deberíamos ignorarlo ya que esto es matemática y no física o algo así, la pregunta es cómo nuestro cálculo sigue siendo válido y confiable si damos hasta un poquito de precisión.

La siguiente imagen muestra los detalles de la demostración:

usuario296602

Porque si vas tras ese enfoque, entonces

d x

$dx$ es infinitesimal y el cuadrado de un infinitesimal es cero. Alternativamente, escribe todo con

Δ x

$\Delta x$ en cambio; en algún momento, terminarás con

(Δ x)^{2} / Δ x

$(\Delta x)^2 / \Delta x$ , que tiende a cero cuando

Δ x

$\Delta x$ hace.

nathan.j.mcdougall

No renunciamos a la precisión, es solo que realmente se desvanece en el límite, como explicó @T.Bongers. 3Blue1Brown solo da una intuición, no explica la formalización real.

hassen dhia

Claro, aceptaría su respuesta si agrega alguna referencia a ella, no quiero eliminar esta pregunta, ya que alguien más la encontraría útil, gracias ^^

Empuje

La variación cuadrática de x, y, etc. es cero.

Respuestas (1)

En la derivada del producto de dos funciones, ¿por qué se ignora (dx)²?

Porque si vas tras ese enfoque, entonces $dx$ es infinitesimal y el cuadrado de un infinitesimal es cero. Alternativamente, escribe todo con $\Delta x$ en cambio; en algún momento, terminarás con $(\Delta x)^2 / \Delta x$ , que tiende a cero cuando $\Delta x$ hace.
No renunciamos a la precisión, es solo que realmente se desvanece en el límite, como explicó @T.Bongers. 3Blue1Brown solo da una intuición, no explica la formalización real.
Claro, aceptaría su respuesta si agrega alguna referencia a ella, no quiero eliminar esta pregunta, ya que alguien más la encontraría útil, gracias ^^

2'5 9'2 · Answer 1

Con todos los términos en

d F = pecado (X) d (X^{2}) + X^{2} d pecado (X) + d (X^{2}) d pecado (X)

$df=\sin(x)d(x^2)+x^2d\sin(x)+d(x^2)d\sin(x)$ para avanzar, dividirás por

d x

$dx$ :

\frac{d F}{d X} = pecado (X) \frac{d (X^{2})}{d X} + X^{2} \frac{d pecado (X)}{d X} + d (X^{2}) \frac{d pecado (X)}{d X}

$\frac{df}{dx}=\sin(x)\frac{d(x^2)}{dx}+x^2\frac{d\sin(x)}{dx}+d(x^2)\frac{d\sin(x)}{dx}$ (Estoy usando

d

$d$ como una cantidad positiva antes de tomar el límite.)

Ahora toma el límite como $dx\to0$ (que obliga $d(x^2)\to0$ ).

\frac{d F}{d X} = pecado (X) 2 X + X^{2} porque (X) + 0 \cdot porque (X)

$\frac{df}{dx}=\sin(x)2x+x^2\cos(x)+0\cdot\cos(x)$

Entonces, después de tomar el límite, este término adicional ciertamente contribuye $0$ . (Tenga en cuenta que podría haber emparejado el último denominador con $d(x^2)$ en cambio, pero luego $d\sin(x)\to0$ y el resultado final es el mismo).

En la derivada del producto de dos funciones, ¿por qué se ignora (dx)²?

hassen dhia

usuario296602

nathan.j.mcdougall

hassen dhia

Empuje

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2'5 9'2

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