Pegado de haces de vectores con restricciones isomórficas

Question

Pegado de haces de vectores con restricciones isomórficas

mits314

Estoy lidiando con la siguiente situación. Tenemos dos paquetes de vectores. $E \xrightarrow{\pi_1} U$ y $F \xrightarrow{\pi_2} V$ sobre algunos subconjuntos abiertos de una variedad suave cuyas restricciones en la intersección $U \cap V$ son isomórficos, es decir, tenemos un isomorfismo de haz vectorial $\phi : E|_{U\cap V} \rightarrow F|_{U\cap V}$ . estoy tratando de pegar $E$ y $F$ a un paquete de vectores sobre $U\cup V$ y así, aquí está mi idea.

En primer lugar, considero la unión disjunta $G=E_p \displaystyle\bigsqcup_{p \in U\cup V} F_p$ equipado con la topología de unión disjunta y luego definir una relación de equivalencia: $u \sim v \Longleftrightarrow$ u y v pertenecen a $E_p$ o $F_p$ para $p\in U \cap V$ . Luego, pasamos al espacio cociente

\tilde{GRAMO} = ({mi}_{pag} ⨆_{pag \in tu \cup V} F_{pag}) metro o d \sim

$\begin{equation*} \tilde{G}=\big (E_p \displaystyle\bigsqcup_{p \in U\cup V} F_p\big)mod\sim \end{equation*}$ y considere el mapa de proyección

π_{(} v) = {\begin{cases} π_{1} (v), si v \in {mi}_{pag} para pag \in tu ∖ tu \cap V \\ π_{2} (v), si v \in F_{pag} para pag \in V ∖ tu \cap V \\ π_{1} (v) = π_{2} (v), si v \in {mi}_{pag} ≃ F_{pag} para pag \in tu \cap V \end{cases}

$\begin{equation*} \pi_(v)= \begin{cases} \pi_1(v), \text{if}~ v\in E_p~ \text{for}~ p\in U\setminus U\cap V\\ \pi_2(v), \text{if}~ v\in F_p~ \text{for}~ p\in V\setminus U\cap V\\ \pi_1(v)=\pi_2(v), \text{if}~ v\in E_p\simeq F_p~ \text{for}~ p\in U\cap V \end{cases} \end{equation*}$ Como yo lo veo, hay una estructura de espacio vectorial bien definida en las fibras de

π

$\pi$ entonces mis problemas comienzan con la banalización local de

\tilde{G}

$\tilde{G}$ . Hay algunos gráficos de trivializaciones locales sencillos sobre un punto p, provenientes de

E

$E$ y

F

$F$ , cuando

p \in U ∖ \bar{U \cap V}

$p \in U \setminus \overline{U \cap V}$ o

p \in V ∖ \bar{U \cap V}

$p \in V \setminus \overline{U \cap V}$ respectivamente. Incluso podría definir dichos gráficos sobre puntos en

U \cap V

$U \cap V$ .

Sin embargo, simplemente no puedo ver cómo funcionan las cosas en el límite. $\partial(U \cap V)$ y, de manera más general, no me siento cómodo con la simplicidad de este enfoque.

Estaría agradecido, si alguien pudiera arrojar algo de luz a esta pregunta!

Respuestas (1)

Pegado de haces de vectores con restricciones isomórficas

Andrew D Hwang · Answer 1

Puede ser útil considerar una analogía simple: supongamos que tenemos dos conjuntos abiertos $U$ y $V$ de números reales, y dos funciones continuas, $f$ en $U$ y $g$ en $V$ , tal que $f = g$ en $U \cap V$ . La fórmula "parcheada"

(F \cup gramo) (X) = {\begin{cases} F (X) & X \in tu, \\ gramo (X) & X \in V, \end{cases}

$(f \cup g)(x) = \begin{cases} f(x) & x \in U, \\ g(x) & x \in V, \end{cases}$ está bien definida en la intersección

U \cap V

$U \cap V$ , y por lo tanto representa una función en la unión

U \cup V

$U \cup V$ . Además (en relación con su pregunta),

f \cup g

$f \cup g$ es continua: si

p

$p$ es un punto arbitrario de

U \cup V

$U \cup V$ , existe un barrio

W

$W$ de

p

$p$ tal que o bien

$W \subset U$ , entonces $f \cup g = f$ a lo largo de $W$ , o
$W \subset V$ , entonces $f \cup g = g$ a lo largo de $W$ .

En cualquier caso, $f \cup g$ es continuo El mismo argumento funciona para cualquier propiedad local que una función pueda satisfacer: suavidad, real-analyticity, ....

En la situación que nos ocupa tenemos dos fibrados vectoriales, y sabemos que existe un isomorfismo de fibras vectoriales $\phi:E|_{U \cap V} \to F|_{U \cap V}$ . El espacio total del paquete vectorial sobre $U \cup V$ puede construirse como la unión disjunta de fibras tal como usted dice, pero puede ser deseable escribir la equivalencia de fibra sobre $U \cap V$ explícitamente:

[(pag, v) \in mi |_{tu \cap V}] \sim [(pag, ϕ (v)) \in F |_{tu \cap V}] .

$\bigl[(p, v) \in E|_{U \cap V} \bigr] \sim \bigl[(p, \phi(v)) \in F|_{U \cap V} \bigr].$ El punto ahora es ver que el espacio cociente

\tilde{G} = E \cup F

$\widetilde{G} = E \cup F$ es localmente trivial sobre

U \cup V

$U \cup V$ . Conceptualmente, esta es precisamente la simple analogía anterior. En riesgo de tomar una broma más allá de su chiste, por cada punto

p

$p$ de

U \cup V

$U \cup V$ , existe un barrio

W

$W$ de

p

$p$ tal que o bien

W \subset U

$W \subset U$ trivializa

E

$E$ , o

W \subset V

$W \subset V$ trivializa

F

$F$ , o ambos (y las nociones de trivialización están de acuerdo).

Si o no $p$ es un punto límite de la intersección $U \cap V$ resulta ser irrelevante, aunque también es perfectamente comprensible por qué esa contingencia puede parecer que requiere atención.

¡Gracias por responder! Entonces, después de todo, todo se reduce a este isomorfismo sobre $U \cap V$ . En ese caso, tenemos un mapa de proyección natural bien definido en $\tilde{G}$ y el argumento en su analogía produce que la proyección es uniforme y que también tenemos un atlas de trivialización local natural y bien definido para $\tilde{G}$ .
Así es. Quizás sorprendentemente, son los mapas superpuestos o los cambios de coordenadas los que codifican la estructura geométrica invariable, no los sistemas de coordenadas/trivializados en sí mismos.
Mi mente se dirige a cómo las funciones de transición determinan una estructura de paquete vectorial o cómo un cociclo de Haelfiger describe una foliación de una variedad. Si lo dices en serio, también encuentro esto interesantemente sorprendente.
El hecho de que la estructura geométrica resida en los mapas de superposición plantea la posibilidad de utilizar la poderosa maquinaria contable de la cohomología de haces para estudiar paquetes y deformaciones de la estructura. No conocía los cociclos de Haefliger, pero parecen ser un ejemplo de este punto de vista de "pegado".
¿Podría dar más detalles sobre este enfoque de cohomología de gavillas y qué ofrece (digamos para estudiar haces de vectores)?
La historia con la cohomología de la gavilla no es breve, pero recuerdo que Complex Manifolds de Kodaira y Morrow es una descripción accesible de las deformaciones de las estructuras holomorfas.
Veo. Este debe ser un tema bastante interesante, me gustaría detenerme en él, si tengo algo de tiempo.
¿Qué pasaría si U y V fueran cerrados, por ejemplo, simplifica o cubos y U y V solo tienen una cara en común? Solo pido una citación si la hay.
@JimStasheff Entre las primeras referencias que consultaría si me preguntaran, estaría su libro. :) Si el problema son los detalles de extenderse sin problemas a conjuntos abiertos superpuestos, no conozco una referencia de antemano.
Estaba preguntando ¿Qué pasaría si U y V no estuvieran abiertos sino cerrados, por ejemplo, simples cerrados o cubos cerrados?

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