La mayoría de las fuentes que puedo encontrar sobre los teoremas de incompletitud de Gödel resumen el resultado como "existen declaraciones aritméticas verdaderas que no tienen prueba".
Parece coherente decir que existen enunciados indecidibles para cualquier sistema formal. Es decir, existen enunciados G para los cuales el sistema formal no tiene prueba ni de G ni de ~G. Puedo entender fácilmente esta parte del teorema de Gödel.
El aspecto de la "verdad" no parece coherente, a menos que adoptemos una visión platónica de que algunas afirmaciones "realmente son verdaderas" o "realmente son falsas". Digamos que no tenemos tal punto de vista. Entonces, ¿puede permanecer coherente la parte de la "verdad" del teorema de Gödel?
Por supuesto, parece natural decir que las oraciones de Gödel como "Esta declaración no se puede probar en F" son verdaderas, si sabemos que no se pueden probar en F. Pero esto se basa en la intuición y se basa en un punto de vista platónico de que la oración es verdadera o falso sin respeto a algún sistema formal. Si aceptamos argumentos tan poco rigurosos, en realidad no hay necesidad de una lógica formal en primer lugar.
Además, el teorema de completitud de Gödel, tal como lo entiendo, garantiza que podemos agregar cualquiera de las proposiciones indecidibles G o ~G (no ambas) al sistema formal F y el sistema resultante permanece consistente. Por lo tanto, parece insostenible que ~G sea "falso" en cualquier sentido formal. Y como punto final, existen muchos enunciados indecidibles, como la hipótesis del continuo, que no tienen un valor de verdad acordado en ausencia de un sistema formal. Así parece arbitrario creer que algunos enunciados indecidibles tienen valor de verdad, cuando ya se acepta que otros no lo tienen.
Creo que las preguntas del título y del cuerpo son sutilmente diferentes. Aquí voy a abordar la pregunta del título, que parafrasearé para mayor claridad como:
¿Qué tipo de "verdad matemática" puede entender un no platónico?
Creo que esto es menos extraño de lo que puede parecer a primera vista, ya que existe un paralelo: referentes "agudos" frente a "borrosos" en el lenguaje natural . En términos generales, mientras que el platonismo se compromete con la posición de que cada enunciado matemático tiene un valor de verdad definido, rechazar el platonismo no requiere que rechacemos todos los enunciados matemáticos como sin sentido; podemos tener "grados de realismo" en nuestras matemáticas.
Varios autores han escrito sobre las distinciones en juego aquí sin comprometerse con (o incluso rechazar explícitamente) el platonismo; véase, por ejemplo , Feferman , Koellner respondiendo a Feferman , o Hamkins , o más generalmente los materiales del EFI de Harvard .
( Esta vieja respuesta mía está relacionada).
La situación en la que quiero centrarme en el lenguaje natural es doble:
Para tener un valor de verdad definido, los "ingredientes" de una oración, incluidos, entre otros, los objetos a los que se hace referencia, deben ser "suficientemente significativos" (he usado el término "agudo" anteriormente para esto).
Hay varios niveles de significado, o tal vez más agradablemente, hay varios niveles de vaguedad .
Por ejemplo, creo que, bajo algunos supuestos ontológicos muy moderados, todos estaríamos de acuerdo en que la oración "la Tierra gira alrededor del Sol" no es problemática. Sin embargo,
(Y esto ni siquiera entra en el tema de las propiedades : ¿cómo deberíamos pensar en una oración como "Steve es amigable " o "el clima afuera es frío "?)
Se puede argumentar que las matemáticas están sujetas a un fenómeno similar, aunque por varias razones podemos ignorarlo en su mayor parte: hay diferentes grados de significado . Aquí hay una versión particular de cómo se vería eso:
El número "3" es totalmente significativo (y "3 es impar" tiene un valor de verdad sin problemas) ya que es factiblemente realizable : ahora mismo puedo instanciarlo levantando los dedos medio, índice y anular de mi mano derecha (lo cual sucede tener).
El número "8394756" es casi totalmente significativo: si bien no es factible de realizar, tenemos un alto grado de confianza en que es físicamente realizable (por ejemplo, que en realidad existen al menos tantos granos de arena en la playa, por lo que con el tiempo suficiente podemos podría instanciar el número en cuestión).
El número 10^50 es muy significativo: si bien, según nuestra comprensión actual del universo, se ejemplifica en algún sentido (se cree que hay más átomos en el universo), existen serios obstáculos para ejemplificarlo (por ejemplo, el el tiempo que llevaría "reunir" todos esos átomos "en un solo lugar" podría ser tan largo que dejarían de ser átomos en primer lugar .
El número de Graham es bastante significativo: no existe una comprensión actual del universo según la cual se ejemplifique físicamente de manera plausible, pero podemos imaginar universos alternativos con más o menos las mismas leyes de la física en las que se encuentra. Es decir, su "finitud abstracta" es su gracia salvadora.
Pero un cardinal infinito como $\aleph_0$ está entrando en el territorio de algo significativo: tendríamos que acomodar un universo infinitamente grande para que pueda ser instanciado en algún sentido, y no está claro que eso siquiera cuente .
Y luego las cosas realmente se rompen cuando encontramos cosas como $2^{2^{\aleph_0}}$ o similares.
Por supuesto, hay un par de preguntas importantes aquí:
¿Es significativa esta gradación? El platónico diría que no , pero un no platónico podría encontrarlo bastante interesante, incluso un formalista podría encontrar algo que sacar de esto (p. ness" de 3.
¿Es esta gradación arbitraria? Incluso suponiendo que mis creencias relevantes sobre el universo físico sean precisas, se puede decir que el espectro que he señalado anteriormente es bastante contingente. La última oración de su pregunta ("parece arbitrario creer que algunos enunciados indecidibles tienen valor de verdad, cuando ya se acepta que otros no lo tienen") golpea fuerte: ¿qué criterios usamos para juzgar el significado y, en particular, en qué medida? ¿Tenemos que comprometernos con un "meta-platonismo" ("hay un hecho definido del asunto sobre muchas preguntas sobre el significado comparativo"), y por qué se justifica eso ?
Si bien estas críticas son bastante importantes, creo que, en última instancia, el enfoque anterior es valioso (y, de hecho, es uno al que me adhiero).
La decisión es sobre los sistemas formales. Entonces el problema surge solo dentro del Formalismo. Es posible negar el platonismo y aún así no anclar las matemáticas en sistemas axiomáticos.
El programa que condujo a la completud de Goedel compite con reacciones más radicales al vacío en el trabajo de Frege. El primero de ellos es la forma original de intuicionismo propuesta por Brouwer.
La verdad matemática para Brouwer estaba anclada en la intuición humana y el poder creativo. Por lo tanto, un enunciado que de otro modo sería demostrablemente indecidible podría aceptarse y elaborarse si tuviera cierto tipo de atractivo natural.
Al mismo tiempo, una gran cantidad de resultados quedaron inmediatamente 'no probados' según los estándares de Brouwer sobre la base del hecho de que la Ley del Medio Excluido se vio como la causa más intuitiva de la paradoja de Russel y se abandonó. Esto ha sido seguido principalmente por las matemáticas que retroceden aún más hacia métodos finitos y aproximados.
Pero algunos intuicionistas posteriores (p. ej., Steven Kleene) han ido en la dirección opuesta y han admitido que está bien (¿aunque un poco arrogante?) que las matemáticas clásicas se aferren a la Ley del medio excluido y busquen algo más para descartar con el fin de evitar las diversas paradojas, siempre que lo hagan con cuidado. (En general, simplemente no lo hacen, porque ven el problema filosófico como una intrusión obsesiva en su trabajo). Eso significa que se deben probar otras proposiciones indecidibles, para ver si obtienen consecuencias que tienen un atractivo intuitivo.
Así que la gente ha visto el lado positivo potencial de adoptar una fuerte negación del Axioma de Elección conocido como Determinación del Juego Infinito, tanto para deshacerse de la paradoja de Tarski como para encontrar potencialmente un territorio más interesante y atractivo. Algunos teóricos de números han adoptado la Hipótesis del Continuo porque tener un modelo dado de órdenes infinitos simplifica algunos resultados finitos.
Una gran rama del campo de la teoría ordinal se trata de lo que sucede cuando aceptas o no varios grandes axiomas cardinales, y de construir una especie de mapa de opciones, con la esperanza de que esta visión más amplia pueda desarrollar la intuición y darnos una idea. buena manera de seleccionar nuestros axiomas en el futuro. Este es el proyecto de Woodin.
Quedan desarrollos activos en las matemáticas no platónicas fuera del formalismo.
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Efervescencia