¿Cuál es la diferencia entre la lógica y las matemáticas?

Si existe una distinción, y en qué consiste la distinción, es un tema muy debatido. Aquí hay algunas cosas que normalmente se afirman que son esenciales para la lógica:

1. Aplicabilidad universal: las leyes de la lógica se aplican a todos los temas. Esto significaría que, por ejemplo, diferentes teorías de la aritmética tienen la misma lógica subyacente (generalmente algo así como la lógica clásica de primer orden).
2. Neutralidad ontológica: el pensamiento aquí es que no hay objetos distintivamente lógicos, y no es necesario que exista nada para que la lógica sea verdadera. La aritmética supone la existencia de los números naturales. La teoría de conjuntos asume la existencia de conjuntos. Se supone que la lógica está libre de cualquier suposición existencial similar.
3. Prioridad epistémica: las verdades fundamentales de la lógica son, en cierto sentido, más inmunes a la duda y más seguras a priori que cualquier otro tema. Hay dos pensamientos aquí. La primera es que el conocimiento de todo lo demás, incluidas las matemáticas, requiere conocimientos de lógica. La segunda es que hay menos o ningún lugar para la duda cuando se trata de lógica.

Ahora, cada una de esas afirmaciones es discutible. La “aplicabilidad universal” parece difícil de conseguir a menos que asumas una lógica muy débil, más débil de lo que la gente suele suponer. La lógica clásica no funcionará para los intuicionistas, y la lógica intuicionista no captará las distinciones centrales de las lógicas paraconsistentes.

La neutralidad ontológica es igualmente discutible. La lógica de primer orden es plausiblemente neutral, pero es relativamente débil expresivamente. Por ejemplo, no puede captar la distinción entre "finito" e "infinito" y, por lo tanto, no podrá caracterizar definitivamente muchas teorías (es decir, tendrá modelos no estándar).

Finalmente, la prioridad epistémica también está sujeta a debate. Dependiendo de lo que se incluya en la "lógica", es plausible que las verdades aritméticas y geométricas simples tengan una base más segura o al menos más "obvias" que gran parte de la lógica.

Ahora, para los primeros logicistas, la lógica era bastante fuerte. La teoría de tipos de Russell y Whitehead era lo suficientemente fuerte como para interpretar la aritmética (la prueba de incompletitud de Gödel se expresa en ese sistema) y al menos una teoría de conjuntos débiles. El problema para ellos era que los resultados de Gödel parecían mostrar que la lógica no podía ser la base firme que esperaban, al menos no para ninguna matemática de interés.

Los “neologicistas” hacen una afirmación más modesta de que la lógica (una lógica débil de segundo orden), combinada con algunas verdades conceptuales sobre las matemáticas (como el “Principio de Hume” para los números naturales), proporciona una base para las matemáticas. En este caso, las objeciones suelen ser a la amplitud del programa (no puede capturar todas las matemáticas) o al estado lógico de su "lógica" (que es simplemente "teoría de conjuntos con piel de cordero").

Otras lecturas:

Un buen libro de estudios sobre la filosofía de las matemáticas es Thinking About Mathematics de Stewart Shapiro . El capítulo 5 cubre el logicismo y toca todos estos temas, pero toda la parte III (caps. 5-7) es relevante. Una discusión disponible gratuitamente sobre logicismo se puede encontrar en la SEP. El texto clásico del neologicismo (también llamado "neo-fregeanismo"), defendido principalmente por Crispin Wright y Bob Hale, es la Concepción de los números como objetos de Wright, de Frege . Wright y Hale tienen una colección de ensayos sobre neologicismo titulada The Reason's Proper Study . La entrada SEP sobre "Lógica y ontología" y la entrada sobre "Constantes lógicas" también son relevantes.

Discusión más avanzada de cada uno de los temas:

1. Aplicabilidad universal: esto se remonta a Kant y especialmente a Frege, quienes separaron (1) y (2) al permitir que los "conceptos" fueran parte de la ontología de la lógica. Citando de la entrada SEP sobre "Constantes lógicas" :

…las proposiciones básicas en las que se basa la aritmética no pueden aplicarse meramente a un área limitada cuyas peculiaridades expresan en la forma en que los axiomas de la geometría expresan las peculiaridades de lo que es espacial; más bien, estas proposiciones básicas deben extenderse a todo lo que se puede pensar. Y seguramente estamos justificados al atribuir proposiciones tan extremadamente generales a la lógica. (1885, 95, en Frege 1984; para una discusión más detallada, véase MacFarlane 2002)

El artículo de MacFarlane al que se hace referencia es "Frege, Kant, and the Logic in Logicism". Véase también "Frege's New Science" de Aldo Antonelli y Robert May (2000).

2. Neutralidad ontológica: George Boolos tiene una buena discusión de esto en su "On Second-Order Logic" (1975; reimpreso en su Logic, Logic, Logic , citas de la reimpresión). Lo conecta con (1) bajo el título de "neutralidad de tema":

[L]a idea es que las ciencias especiales, como la astronomía, la teoría de campos o la teoría de conjuntos, tienen sus propios temas especiales, como cuerpos celestes, campos o conjuntos, pero que la lógica no se trata de ningún tipo de cosa en particular. , y, por lo tanto, no está más en el campo de la lógica hacer afirmaciones en el sentido de que existen conjuntos de tales y tales tipos que hacer afirmaciones sobre la existencia de varios tipos de planetas. (pág. 44)

3. Prioridad epistémica: una discusión clásica (crítica) de este tema es The Web of Belief de Quine . En él discute la idea de que las verdades de la lógica son de alguna manera más "inmunes a la revisión" que otras verdades. Si bien simpatiza con la idea de que son más inmunes a la revisión, más "centrales para nuestra red de creencias", rechaza la visión clásica de que son totalmente inmunes a la revisión. El capítulo 4 sobre "Autoevidencia" es el más relevante aquí.

Encuentro que a los estudiantes modernos se les dice lo mismo que escuchaste. Este no fue el caso cuando aprendí lógica. La lógica matemática no existía antes de 1845. Note que no dije que las matemáticas no existieran. La lógica aristotélica es anterior a la lógica matemática y no tenía simbolización.

La lógica aristotélica era semántica. Podría decir más lingüístico. Esta lógica se basaba en el lenguaje y el contexto y no en la simbolización. El arte de la retórica y la psicología están estrechamente relacionados en cómo las personas persuaden y engañan a otras personas. La lógica que expresó Aristóteles era una forma de evaluar el razonamiento engañoso para el que no estaba destinada la lógica matemática. La forma en que la gente usa las palabras puede engañar rápidamente a los débiles de mente. Hablan rápido, usan múltiples definiciones del mismo término en el mismo argumento, usan términos vagos, etc. La forma lógica permitiría a un oyente u observador reconocer rápidamente una práctica engañosa. La lógica matemática solo se preocupa por la validez, mientras que la lógica aristotélica tenía otros conjuntos de reglas que se pierden o se les cambia el nombre.

Cuando aprendí lógica, no se me permitió usar premisas falsas de ningún tipo. El punto de estar en Lógica es pasar de la verdad a otras verdades que preservan la verdad en la confiabilidad de las personas que usan este método de lógica. Hoy en día la gente formula proposiciones de cualquier forma, ya sea verdadera o descaradamente falsa. Los matemáticos dicen que la lógica tiene que ver con la forma. Este no fue siempre el caso. Como dije, la generación en la que me enseñaron no permitía premisas falsas. ¡Entonces uno pensaría que el contenido importaba hasta cierto punto porque lo hizo! ¿Cómo trata la lógica matemática las palabras en contexto de una manera realista en que hablan los humanos? Eso es lo que hace la retórica, ¿no? Piense en la política aquí. Habladores fluidos que pueden apelar a las emociones para persuadir a los votantes o pueden dar la vuelta a posiciones ya pronunciadas y respondidas.

Aristóteles tenía rivales llamados sofistas que hacían lo mismo que los anteriores ya los que consideraba mala retórica los usuarios del método sofitría. Así escribió un tratado de Retórica; y se escribieron tratados lógicos para hacer una distinción entre los métodos buenos y los erróneos. La forma en que la gente hablaba en realidad en lo que respecta a los argumentos era lo que los silogismos intentaban capturar. Esto implica premisas ocultas y afirmaciones de conocimiento común que no se expresan verbalmente. ¿Cómo puede la lógica matemática manejar un sistema basado en la semántica?

Los contextos de las premisas importaban en la lógica aristotélica y no tanto simbolizados. Incluso Aristóteles dividió la lógica en lógica mayor y lógica menor. Durante la época medieval surgió un término Lógica Material que mejoró la lógica aristotélica. Poco después llegaron las representaciones simbólicas. En una famosa conferencia matemática de la época de 1845 es donde se sentaron las bases de la lógica matemática.

La Lógica Material probablemente se convirtió en el campo de la Epistemología. La Lógica Material se centró tanto en el contenido como en la forma lógica. A los matemáticos no les importa la verdad de las proposiciones. Los filósofos lo hicieron. Como dije, no se permitían premisas falsas. Así, todos los argumentos necesitaban proposiciones que fueran premisas verdaderas y eso necesariamente significaba que había argumentos sólidos. Todos los argumentos sólidos deben ser válidos. Eso es de la filosofía.

Ahora, a las matemáticas no les importa cómo se forman las proposiciones ni el valor de verdad de las proposiciones en un argumento. Solo la forma, ya sea válida o no válida, importa en el sentido matemático. La epistemología actual considera qué valores de verdad son y qué proposiciones son verdaderas, no solo la lógica. La lógica cuando la aprendí incluía contenido firme y contexto de argumentos. Esto no es cierto hoy.

Whitehead y Russell demostraron que la lógica y las matemáticas son lo mismo al deducir las matemáticas a partir de proposiciones lógicas.

Las proposiciones lógicas son proposiciones de la forma "p implica q". Algunas proposiciones son proposiciones lógicas bien conocidas, como "p o p implica p"; algunos otros dudan de si son proposiciones lógicas o no. Las proposiciones primitivas de W & R son todas proposiciones lógicas bien conocidas excepto quizás el axioma de reducibilidad.

Ver Matemáticas y Lógica

Por cierto, si estudias logicismo lo suficiente, te resultará difícil tolerar que la gente hable mal. Es un gran malentendido hablar de extensión hacia atrás como reducción . En palabras de W&R:

De ahí que el alcance de las matemáticas se amplíe tanto por la adición de nuevos temas como por una extensión hacia atrás a las provincias hasta ahora abandonadas a la filosofía.

Whitehead y Russell. "Prefacio." Principia Mathematica. Volumen 1. Merchant Books, 1910. v