¿Por qué los finitistas rechazan el axioma del infinito? [cerrado]

Ocasionalmente estoy de un humor finitista; Si bien no tengo motivos para creer que lo siguiente es aplicable a todos, o incluso a la mayoría de los finitistas, podría valer la pena escribirlo.

Tenga en cuenta que en todo lo que sigue, me siento perfectamente cómodo con la lógica clásica. Personalmente, en realidad tengo mucho menos interés fundamental en la lógica no clásica que en los marcos finitistas, y para mí los dos no están relacionados en gran medida. Por supuesto,$(i)$esto no quiere decir que no tenga interés matemático en la lógica no clásica, y$(ii)$Esta es sólo mi opinión.

Empecemos por el extremo opuesto al infinitismo: el ultrafinitismo . Hay varias razones por las que uno podría encontrar atractivo el ultrafinitismo, pero creo que la más común es la creencia de que los números deben tener un significado físico para ser significativos . Llamemos a esto el punto de vista "fisicalista". Por supuesto, precisar qué significa "significado físico" con precisión es difícil, pero hay algunas cosas que creo que podemos decir con certeza razonable. Por ejemplo:

Según nuestra comprensión actual de la física, el "número" de Graham, de hecho, no tiene ningún significado físico.

Sin embargo, esta imagen tiene ciertas características que, al menos para mí, la hacen insatisfactoria para captar el significado matemático. En un nivel inmediato, no hay razón para creer que "número" hoy signifique lo mismo que "número" mañana: el universo parece estar expandiéndose, después de todo, y podría decirse que esto significa que más "números" se están convirtiendo en números reales desde mañana el estado del universo tomará más bits para describir ingenuamente que hoy. Ignore aquí mi completa falta de comprensión real de la física; Solo estoy tratando de aclarar el punto más amplio de que el hecho de que el universo cambia con el tiempo plantea un problema para la idea de que "número" es un concepto bien definido en la visión fisicalista.

En mi opinión, un problema más grave es que, irónicamente, esta definición significa que no tenemos acceso directo real a los números. Esto se debe a que nunca puedo estar absolutamente seguro de que mi comprensión del mundo físico sea precisa, y no soy solo un cerebro en una cubeta. Tal vez el verdadero mundo físico es mucho más grande y se comporta de manera muy diferente a mi conjetura en la realidad. Por el contrario, ¿estoy realmente seguro de que$1000000$es significativo? El universo podría ser muy, muy pequeño. . .

La versión del fisicalismo que tiene cierto atractivo para mí es una especie de "fisicalismo relativo" (mi sesgo matemático inverso podría mostrarse aquí):

Excepto en un pequeño puñado de casos, es completamente imposible para mí decir con certeza que un concepto matemático tiene un significado físico (¡incluso si estoy seguro de cuál es el "significado físico"!). Sin embargo, existen líneas divisorias significativas entre los conceptos matemáticos basadas en lo que tendría que ser cierto del universo para que esos conceptos tengan un significado físico.

Por ejemplo, para mí es completamente plausible que el número de Graham tenga un significado físico. Todo lo que se necesitaría sería que nuestra comprensión de la física estuviera completamente fuera de lugar, o que yo fuera víctima de la conspiración más aburrida de la historia, y hablando en términos relativos, esto es totalmente plausible. Por el contrario, algo tendría que ser significativamente extraño para que$\aleph_0$tener un significado físico directo (personalmente, mi interpretación de "significado físico" es lo suficientemente estricta como para que un universo "infinito, localmente finito" no necesariamente lo corte) . Intuitivamente, si partimos de una posición de escepticismo severo sobre el universo (que no tomaría en la vida cotidiana, pero creo que es razonable en los fundamentos de las matemáticas) , entonces algunas líneas divisorias son "significativas a priori". mientras que otros no lo son (no veo ninguna razón particularmente convincente por la que el número de Graham deba ser sustancialmente más inverosímil que un millón, pero definitivamente veo una diferencia cualitativa fundamental entre "finito" e "infinito").

En este punto, podría permitir una gota de dogma en mi escepticismo y declarar que algunas cosas son demasiado inverosímiles para tener un significado físico . Por ejemplo, podría afirmar:

No me sorprendería demasiado si el número de Graham tuviera un significado físico, pero realmente no puedo imaginar un universo en el que$\aleph_0$tiene significado físico.

(Por cierto, para mí, una afirmación similar es: "No me sorprendería demasiado si ZFC fuera inconsistente, pero realmente no puedo imaginar una inconsistencia en PA").

Yo personalmente nunca iría tan lejos, pero definitivamente puedo quedarme atrás:

Estaría fundamentalmente más sorprendido por$\aleph_0$tener un significado físico de lo que yo tendría por el número de Graham que tiene tal significado físico.

De hecho, encuentro esta línea de pensamiento de "grado de sorpresa/conmoción/angustia" bastante convincente. Para mí, el finitismo a menudo captura "Matemáticas que podrían ser físicamente significativas sin aumentar mi presión arterial". Le pregunté a mi médico, y después de poner los ojos en blanco me dijo que no debería preocuparme por esto, así que casi nunca lo hago; pero no puedo estar completamente seguro de que no sea parte de La Conspiración, así que me preocupo de vez en cuando.

Una característica de esta perspectiva es que el finitismo no es particularmente privilegiado: "contable" me sorprende menos que "incontable", por lo que "contable" es una postura significativa para mí; ídem "no-supercompacto-ismo", y así sucesivamente. Por otro lado, el finitismo es la posición más restrictiva de este tipo, por lo que se distingue en ese sentido.

Como ocurre con muchas cuestiones de creencia, puede haber varias razones para rechazar el axioma del infinito y hay varias variaciones del finitismo . Existe cierta conexión con el constructivismo en matemáticas , como se menciona en esta pregunta de Mathoverflow (¿Es el finitismo una forma extrema de constructivismo?). El ultrafinitismo o ultraintuicionismo de AS Yessenin-Volpin es solo un caso extremo.

En última instancia, es una elección de qué creer y, lo que es más importante, por qué . La demostración matemática, por rigurosa que sea, no es razón suficiente para creer algo porque siempre se basa en ciertos supuestos dados (axiomas) que se aceptan como verdaderos implícitamente y las reglas lógicas los usan. Puede haber axiomas alternativos y reglas lógicas. Los problemas aquí tienen una historia larga y complicada.

En este foro la pregunta más fundamental es "¿Qué son las matemáticas realmente?"

Desde el punto de vista de un 'infinitista', creo que la interpretación infinitista de su lógica es básicamente:

• Están interesados ​​en estudiar sintéticamente un universo de conjuntos finitos.
• Quieren adoptar un enfoque no clásico de la lógica (de orden superior)

Vale la pena señalar que una forma de teoría de conjuntos finitos es básicamente lo mismo que la aritmética peano (PA). Es bien sabido cómo obtener números naturales a partir de conjuntos; lo contrario se puede hacer con conjuntos de bits , es decir, decimos$m \in n$si y solo si el número binario para$n$tiene un$1$en el$m$-th lugar.

Los finitistas suelen tener una inclinación bastante computacional hacia la filosofía, por lo que el hecho de que la teoría de conjuntos finitos y la aritmética de Peano sean equivalentes probablemente influya mucho en la preferencia del finitismo por los conjuntos finitos.

Hago hincapié en el enfoque no clásico de la lógica de orden superior, porque la teoría de conjuntos es una lógica de orden superior. IIRC, la teoría de conjuntos de zermelo acotados es exactamente equivalente a lo que obtendría al desarrollar una teoría clásica de orden superior de los axiomas de peano.

No obstante, los finitistas todavía lo rechazan. En mis observaciones, parecen apuntar a una lógica de orden superior basada en la teoría de la computabilidad; por ejemplo, sobre qué "computación" se puede hacer con las máquinas de Turing.

Entonces, para resumir, desde un punto de vista infinitista, mi creencia actual es:

Los finitistas están trabajando internamente en un universo de máquinas de Turing.