La lógica de relevancia echa un vistazo más de cerca a la operación de implicación en la lógica de primer orden. Sugiere que implicaciones tales como:
p y no p -> q
no puede sostener; en inglés ordinario, un ejemplo de esto es:
'Sócrates es un hombre y Sócrates no es un hombre, por lo tanto, la capital de Inglaterra es Londres'.
La conclusión, aunque verdadera, parece no tener relación con las premisas que se discuten.
Ahora, Meyer en los años 70, miró Peanos Axioms (PA) en Relevance Logic y demostró que contra Godel era demostrablemente consistente.
Si la prueba de la consistencia de la AP es importante y vital, ¿no se podría decir que la AP relevante es quizás la AP correcta? ¿O que al menos el PA de primer orden no es el PA correcto para mirar?
Por supuesto, no todos los teoremas del PA tradicional se cumplen en el PA relevante; pero, ¿se ha perdido algo esencial, digamos en la corriente principal de la teoría de números o la física, en lugar de los alcances exteriores exóticos de lo que es posible en la megafonía tradicional?
(Otra forma de examinar este resultado a la luz de Godel es considerar su teorema de que una teoría no puede ser completa y consistente; si uno desea la integridad, debe aceptar la inconsistencia; y de hecho, la lógica relevante es paraconsistente).
"¿Se ha perdido algo esencial" o las deficiencias del sistema de Meyer están en "los exóticos alcances exteriores de lo que es posible en la megafonía tradicional"?
PA prueba que la fórmula si p > 2 es primo, entonces hay un entero positivo y que no es un residuo cuadrático mod p ; eso es,
∃y ∀z: ¬(y ≡ z^2 (mod p)).
Eso me parece un poco poco exótico de teoría de números. Sin embargo, falla en el sistema de Meyer. ¿Malas noticias?
Véase R. Meyer y H. Friedman, Whither Relevant Arithmetic?, JSL 1992, 824–831.
Recomiendo el artículo: B. Buldt, The Scope of Godel's First Incompleteness Theorem, Log. Universidad 8 (2014), 499–552, especialmente las páginas 530 - 531.
Ahora, Meyer en los años 70, miró Peanos Axioms (PA) en Relevance Logic y demostró que contra Godel era demostrablemente consistente.
El Australasian Journal of Logic ha publicado recientemente un número especial dedicado al trabajo de Meyer sobre la aritmética relevante R#. Se publicó, entre otros, el artículo de Meyer "La consistencia de la aritmética" ( https://ojs.victoria.ac.nz/ajl/article/view/6906 ), donde se colocó una prueba de consistencia de Peano Arithmetic, que fue (en opinión de Meyer) elemental. Uno de sus argumentos era que Peano Arithmetic era un subsistema de R#. Sin embargo , en 1992, Harvey Friedman demostró que la aritmética clásica de Peano no estaba incluida en la aritmética relevante R# y esto fue un fracaso para la visión de Meyer de la aritmética relevante R# (ver, por ejemplo, el mensaje de Thomas Fergusson en la lista de discusión de FOM, https://cs . nyu.edu/pipermail/fom/2021-julio/022757.). Por lo tanto, la prueba de consistencia de Meyer de la aritmética de Peano, mencionada anteriormente, no deroga el segundo teorema de incompletitud de Gödel.
Permítanme recomendar el artículo TJ Stępień, Ł. T. Stępień, „Sobre la consistencia del sistema aritmético”, Journal of Mathematics and System Science , vol. 7, 43 (2017), arXiv:1803.11072. Se publicó una prueba de consistencia del Sistema Aritmético (Peano). Esta prueba se ha realizado realmente dentro de este Sistema (el resumen relacionado con este artículo: TJ Stepien y LT Stepien, "Sobre la consistencia del sistema aritmético de Peano", The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 16, No. 1, 132 ( 2010 )).
Pedro Smith
Mozibur Ullah