La paradoja de Russell forzó una restricción del principio de abstracción natural (que cada predicado determina un conjunto) para que la teoría de conjuntos pudiera ser consistente; el estándar es ZF.
Sin embargo , la paraconsistencia permite retener el principio de abstracción natural al permitir un grado de inconsistencia en la lógica que permite un renacimiento de la teoría de conjuntos ingenua como una teoría completamente formal. Tiene la ventaja positiva de probar el axioma de elección y refutar la hipótesis del continuo.
Ahora, el teorema de incompletitud de Gödel dice que no se puede tener una teoría que sea completa y consistente. Uno debe darse por vencido. Por lo general, esto es integridad. Pero en vista de la paraconsistencia, se puede renunciar a la consistencia.
¿Es correcto decir entonces que una teoría paraconsistente siempre será completa?
Dado que la teoría es paraconsistente, el segundo teorema de Gödel acerca de no poder probar la consistencia de una teoría pierde fuerza. (¿O sí? ¿Debería uno poder probar la paraconsistencia?)
Las teorías matemáticas paraconsistentes no siempre estarán completas. Dependiendo de lo que la teoría tome como verdad y de la fuerza de su sistema deductivo, puede haber verdades que no se pueden probar. Como estoy seguro de que ya sabe, todas las teorías paraconsistentes se dan por vencidas ex falso quodlibet(la regla que le permite derivar cualquier cosa de una contradicción), así como los principios que la implican (como el silogismo disyuntivo: de "A o B" y "no-B" se deduce "A"). Esto significa que las inconsistencias dentro de estas teorías no "explotarán" permitiendo la prueba de cualquier afirmación del lenguaje. Por lo tanto, la paraconsistencia no es garantía de integridad. Sin embargo, abrazar la inconsistencia abre la puerta a la posibilidad de una teoría completa cuya contraparte clásica sería esencialmente incompleta. Para un ejemplo de juguete, una teoría paraconsistente que mantiene ex falso quodlibet (aunque tal teoría ya no sería paraconsistente) como una inferencia admisible será trivialmente completa (me imagino que esto es algo así como lo que tenías en mente).
Bueno, muchas teorías paraconsistentes interesantes no serán consistentes, por lo que esas teorías ciertamente no deberían poder probar su propia consistencia; eso sería malo. No estoy muy seguro de qué más tenías en mente, pero es interesante notar que el corolario de Tarski de los resultados de Gödel, el teorema de indefinibilidad de Tarski , ya no es una gran amenaza. Si observa el artículo vinculado de Shapiro (en "Lecturas adicionales"), verá que la teoría que desarrolla es una aritmética paraconsistente (una aritmética dialeteísta para ser más precisos; sospecho que muchas de sus preguntas sobre teorías paraconsistentes realmente tienen la intención de tratarse de teorías dialeteístas o inconsistentes) que contiene su propio predicado de verdad.
Artículo SEP sobre Matemáticas Inconsistentes
dennis