Elegir un estado en el enfoque algebraico de QM y QFT

Considere un sistema cuántico descrito por el ∗ -álgebra A . Dejar ω : A → C ser un estado. Por la discusión sobre esta cuestión, una elección de estado algebraico es una elección de ∗ -representacion de A en un espacio de Hilbert mediante la construcción GNS que genera un triple ( H ω , π ω , Ω ω ) .

Es un hecho que todas las matrices de densidad en H ω dan lugar a estados algebraicos. Entonces definimos F ( ω ) el folio de ω ser el conjunto de todos los estados algebraicos que se pueden representar como matrices de densidad en H ω . Entonces se dice que un estado es normal con respecto a ω si pertenece a F ( ω ) .

Entonces, cuando realizamos la construcción GNS y trabajamos con el espacio de Hilbert H ω nos fijamos sólo en los estados normales con respecto a ω y olvidar por un momento a los demás.

Esto invita a dos preguntas naturales:

  1. Parece que en contraste con QM habitual, en el enfoque algebraico elegimos un estado por razones matemáticas.

    En QM elegimos un observable, tiene una base. Escribimos un estado sobre esta base, y tiene el significado de una distribución de probabilidad para las medidas del observable.

    Preparamos el sistema en un estado por medición. Entonces, en cierto sentido, no elegimos el estado, por la forma en que se preparó el sistema y por el significado físico de los estados propios de los observables, conocemos el estado inicial.

    Esto contrasta con el enfoque algebraico, donde elegimos un estado para generar el triple GNS. Quiero decir, no parece haber una motivación física para elegir uno en lugar de otro, y esto parece muy diferente a QM, donde el acto de preparar el sistema nos obliga a un estado inicial.

    Entonces, ¿por qué en el enfoque algebraico parece que elegimos un estado por razones matemáticas, mientras que en QM parece que el estado en realidad proviene de la física?

    ¿Cómo la física real del problema dicta el estado en el enfoque algebraico, como en QM habitual?

  2. Más que eso, dado uno ω genera el triple GNS ( H ω , π ω , Ω ω ) . Tiene toda una colección de otros estados. F ( ω ) en el mismo espacio de Hilbert. Entonces, ¿por qué uno elegiría ω en lugar de cualquier otro ω ′ ∈ F ( ω ) ? No puedo ver una razón conectada a la física aquí.

En ambas preguntas, el problema es que no veo la conexión entre las matemáticas y la física.

Estoy totalmente de acuerdo contigo en que la física es difícil de ver en esta matemática altamente abstracta, y también vería esto como una debilidad del enfoque algebraico. Para ver un ejemplo en el que ve claramente la elección del estado, considere el vacío ("mar de Dirac") en un QFT. Este es un estado de referencia llamado "sin partículas", pero dependiendo de los campos externos, esta elección no es única. Pero lo que ves aquí es que el problema de cómo elegir el estado no solo está presente en el enfoque algebraico, también en el habitual tienes que preguntarte: "Entonces, ¿cuál es ahora el vacío correcto?"

Respuestas (2)

La construcción GNS genera una representación del C ∗ álgebra sobre un espacio de Hilbert. Sabemos que si partimos de un estado puro, llegamos a una representación irreducible, que describe un sistema cuántico elemental. Si partimos de otro estado, la representación describe otro sistema cuántico. Algunas de estas representaciones son unitariamente equivalentes y las vemos como equivalentes en el sentido físico. Por ejemplo, dos spin- 1 2 sistema correspondiente a ejes girados pertenecen a la spin- 1 2 tipo de sistemas.

Es cierto que cuando el álgebra de operadores es el álgebra de Heisenberg-Weyl, entonces todas las representaciones GNS son unitariamente equivalentes (El teorema de Stone-von Neumann), pero esto es realmente una excepción. En general, tenemos muchas representaciones no equivalentes, cada una parametrizada por el estado del que partimos. Esto puede suceder incluso en la mecánica cuántica cuando nuestra álgebra es METRO a t ( norte ) .

Sobre el significado físico de las representaciones no equivalentes

Conozco dos enfoques que pueden dar un significado físico a las representaciones no equivalentes anteriores

  1. Enfoque de Rieffel : como se indicó anteriormente, las diferentes representaciones representan diferentes sistemas cuánticos. Rieffel investigó la posibilidad de que estas representaciones surjan de la cuantización de un espacio de fase clásico. Sabemos que cuando cuantificamos un sistema, podemos obtener muchos sistemas cuánticos no equivalentes. Así, en este enfoque, las representaciones no equivalentes son en realidad cuantizaciones no equivalentes de algún sistema definido en un espacio de fase clásico (generalmente una variedad de veneno).

  2. Una segunda forma en que podemos interpretar las representaciones no equivalentes es que podemos imaginar el espacio de funcionales (distintos) en la construcción GNS (o un subespacio del cual) como un espacio clásico (fase) en sí mismo. De esta manera llegamos a un sistema cuántico parametrizado. Este enfoque es particularmente transparente cuando nuestras representaciones son representaciones espaciales coherentes, entonces en realidad está parametrizado por un espacio de fase. Los sistemas cuánticos parametrizados tienen muchas aplicaciones modernas, desde control cuántico hasta aisladores topológicos.

hay un punto que me confunde. pensé en uno ∗ -álgebra A se suponía que debía describir un sistema específico (como un oscilador armónico, un campo KG libre, etc.). Por su respuesta, parece que las representaciones describen sistemas específicos, y dado uno ∗ -algebra podemos tener representaciones que describen diferentes sistemas. entonces no es A al final pretendía representar un solo sistema cuántico? ¿Por qué describe a más de uno?
Tomemos, por ejemplo, el álgebra de espín (envolvente universal) ( s tu ( 2 ) ). Las elecciones inteligentes de los estados GNS pueden generar todas sus representaciones correspondientes al giro S = 0 , 1 2 , 1 , … etc. Podemos llamar a todas estas representaciones sistemas giratorios; mientras que cada representación es un sistema giratorio elemental ya que es irreductible.
¡Dé algunas referencias que muestren el uso de sistemas cuánticos parametrizados con representaciones no equivalentes!
@ArnoldNeumaier El ejemplo más conocido es el caso de la ruptura de simetría espontánea. En este caso, el vacío no equivalente se puede etiquetar mediante configuraciones de campo de Goldstone. Consulte, por ejemplo, la sección 4 de arxiv.org/abs/1111.3228v2 . Otro ejemplo (que no es completamente ortogonal) es una transformación de Bogoliubov con elementos fuera de la diagonal que no son de Hilbert-Schmidt, consulte www1.maths.leeds.ac.uk/ ~siru/papers/p10.pdf . En este caso, el "vacuum manifold" puede ser parametrizado por un espacio simétrico de dimensión infinita.
continuación Un caso especial de lo anterior es, por ejemplo, un campo escalar complejo con una estructura compleja modificada conectada a la original por una transformación de Bogoliubov. Esto también está relacionado con los problemas del campo externo de los fermiones. Aquí se requiere que la interacción hamiltoniana tenga Hilbert-Schmidt fuera de los elementos diagonales para que la interacción hamiltoniana sea implementable en una segunda cuantización sobre el vacío libre www1.maths.leeds.ac.uk/~siru/papers/p8.pdf .
Según Mickelsson, el caso que no es de Hilbert-Schmidt es una señal de que la teoría necesita una renormalización y las versiones renormalizadas de un subconjunto de operadores son de hecho Hilbert-Schmidt.
¿Dónde están los estados coherentes a este respecto?
Tome el caso de Bogoliubov (para bosones), por ejemplo, la variedad de vacío estará parametrizada por la variedad de dimensión infinita del tipo límite norte → ∞ S pag ( 2 norte ) / tu ( norte ) . Esta es una variedad de estado coherente y los vacíos no equivalentes son vectores coherentes.
Entonces, las propiedades algebraicas de los observables son demasiado generales, en el sentido de que diferentes sistemas pueden compartir el mismo ∗ -álgebra. En el caso del espín, todos los momentos angulares satisfacen [ S i , S j ] = i ℏ ϵ i j k S k , pero para un sistema específico tenemos valores específicos para el número cuántico s , mientras que el álgebra es compatible con todos los valores. para girar j , necesitamos un estado en el que la representación GNS describa S 2 como ℏ 2 j ( j + 1 ) 1 , y por lo tanto nos centramos en su folium. ¿Sería esta una regla de superselección?
Estoy de acuerdo, tal como yo lo veo, un sistema cuántico está asociado con una representación del álgebra más que con el álgebra misma. En el caso de dimensión finita, las representaciones de diferentes dimensiones pertenecen automáticamente a diferentes sectores de superselección, ya que no hay transformación unitaria entre diferentes dimensiones.

La elección física habitual para el estado preferido en la mecánica cuántica relativista, al menos en el espacio-tiempo plano, es el vacío (o estado fundamental). La idea es que dicho estado tiene unas propiedades físicas muy especiales que lo hacen único definido para una teoría dada. Por supuesto, esto no es así siempre. En primer lugar, debe ser un estado que sea puro e invariante con respecto a la acción sobre el álgebra de las relaciones canónicas (anti) conmutativas del grupo ortocrónico, propio de Poincaré. Además, debe ser un estado fundamental con respecto al sistema dinámico dado por las traducciones de tiempo ( es decir,tiene que ser un estado fundamental para el hamiltoniano). "Encontrar" el estado de vacío para una teoría cuántica de campo dada (que interactúa) es muy desafiante, y hay muy pocos resultados de ese tipo.

En los espaciotiempos curvos no suele haber noción de vacío, y se utilizan otro tipo de estados distinguidos, como los estados (cuasi libres) de Hadamard, también definidos mediante propiedades físicas especiales (yo no soy nada experto en campos cuánticos en espaciotiempos curvos, así que no voy a comentar más sobre esto).

Permítanme elaborar un poco más sobre la idea de vacío en el enfoque algebraico, y cómo distinguir entre ellos produce representaciones no equivalentes y físicamente distintas.

Dado un espacio simpléctico clásico ( X , σ ) (de funciones de prueba para los campos clásicos que se ven como distribuciones), podemos aplicarle la "cuantización" (más precisamente, un funtor de cuantización adecuadamente definido W h ) para obtener el álgebra de las relaciones canónicas de conmutación W h ( X , σ ) . Supongamos que, como suele ser el caso, ( X , σ ) llevar una representación simpléctica del grupo de Poincaré, o de cualquier otro grupo GRAMO (llamemos a tal representación ( s gramo ) gramo ∈ GRAMO ); entonces ( W h ( s gramo ) ) gramo ∈ GRAMO es una representación del grupo de Poincaré en los observables cuánticos W h ( X , σ ) , mapeo de campos cuánticos en campos cuánticos (como lo exigen los axiomas habituales de la teoría cuántica de campos, por ejemplo, en la formulación de Gårding-Wightman).

Ahora, está claro que tanto las teorías libres como las interactivas del mismo tipo ( por ejemplo , teorías que describen campos escalares, no cargados) tienen el mismo espacio de funciones de prueba y, por lo tanto, la misma álgebra abstracta de relaciones canónicas de conmutación. ¿Cómo podemos, por lo tanto, distinguir entre una teoría libre y una que interactúa?

Eligiendo el estado de vacío adecuado.

Cualquier estado de vacío es GRAMO -invariante, y el teorema de Haag nos dice que dados dos GRAMO -estados invariantes (existe una condición técnica adicional que suele ser satisfecha por los estados físicos), ya sean iguales o disjuntos (en el sentido de que uno no es normal respecto del otro). Por lo tanto, a diferentes vacíos (en realidad GRAMO -estados invariantes) corresponden representaciones no equivalentes de las relaciones canónicas de conmutación, correspondientes a su vez a distintos sistemas físicos. Esto es, por un lado, reconfortante y, por otro, un poco problemático, ya que implica que los sistemas libres e interactivos correspondientes al mismo tipo de campo (por ejemplo, un campo escalar) deben describirse mediante representaciones no equivalentes de las mismas relaciones canónicas de conmutación. .

El hecho es que mientras las representaciones de teorías libres son muy bien entendidas desde el punto de vista matemático, y son las llamadas representaciones de Fock, las representaciones de teorías interactuantes (es decir, las teorías interactuantes GRAMO -estados invariantes (vacío)) son desconocidos para todas las teorías de interacción relativistas "interesantes" en 3 + 1 dimensiones _ Este es un problema abierto notoriamente muy difícil en física matemática (hay un premio Clay de ps 1 , 000 , 000 para resolver este problema para una teoría de Yang-Mills), y no puede ser investigado (hasta donde yo sé) utilizando el enfoque algebraico, ya que este último es demasiado general. Los pocos casos (en dimensión 1 + 1 y 2 + 1 ) donde se conoce el vacío interactuante, han sido estudiados hace mucho tiempo (años sesenta y setenta) por físicos matemáticos famosos como Glimm, Guerra, Jaffe, Rosen y otros (y más recientemente por el medallista Fields Martin Hairer) usando operador y Feynman- técnicas integrales. Por supuesto, sus resultados pueden traducirse en el formalismo algebraico, y puede demostrarse que el vacío interactuante así definido es disjunto del vacío de Fock libre, pero el primero no puede caracterizarse directamente mediante consideraciones algebraicas.

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