En QM los estados son vectores en un espacio de Hilbert . Estos a menudo se denotan como .
Por otro lado, en el enfoque algebraico, tenemos uno -álgebra y los estados son funcionales lineales tal que y .
No está del todo claro cómo se relacionan estas dos cosas.
Como primer paso, tenemos la construcción GNS. La construcción del GNS es la siguiente:
Construcción GNS : Dada una -álgebra y un estado podemos construir un espacio de Hilbert , uno -representación y uno tal que es denso y
Ahora tenemos algunas cosas interesantes:
Todo estado algebraico da lugar a todo un espacio de Hilbert en el que se convierte en el distinguido y produce un valor medio en el sentido QM habitual.
Los otros vectores unitarios en el espacio de Hilbert dan lugar a estados algebraicos. En realidad, si tenemos eso
Por otra parte, no parece que todo estado algebraico dé lugar a un estado habitual en . En verdad, por el teorema de representación de Riesz bastaría que para todo estado algebraico había un estado algebraico en . Esto a su vez requiere que por lo tanto, para que esto sea cierto, necesitaríamos ser invertible. En otras palabras, la representación debe ser fiel.
Estos puntos muestran que, aunque relacionados con los vectores de estado habituales de QM, los estados algebraicos no son equivalentes a ellos. De hecho, parece que tenemos más estados algebraicos que vectores de estado.
Además, GNS nos permite representar cada estado como un vector de estado, pero en diferentes espacios de Hilbert. El punto (2) que hice entonces garantiza que cada vector de estado puede identificarse con un estado algebraico, pero hay otros aparte de él que no pertenecen a este espacio de Hilbert. Incluso, sin embargo, si elegimos uno de esos estados en (2) y realizamos la construcción GNS con ellos, parece que obtenemos un espacio Hibert completamente diferente.
Parece que el papel de los estados algebraicos es generar solo una representación y esto es bastante extraño, considerando el punto de vista habitual de QM sobre los estados.
Entonces, ¿cuál es la forma correcta de entender los estados algebraicos? ¿Cómo se relacionan con la noción habitual de estados de QM? Para trabajar con ellos en la práctica, ¿siempre necesitamos usar la construcción GNS?
¿Cómo lidiamos con el hecho de que parece que hay más estados algebraicos que estados vectoriales QM, en el sentido de que cuando realizamos la construcción GNS algunos estados algebraicos parecen "omitidos"?
La formulación algebraica es más general y tiene en cuenta muchas sutilezas que surgen en QFT y que están ocultas en la mecánica cuántica.
De hecho, en mecánica cuántica el teorema de Stone-von Neumann nos dice que la representación irreducible del álgebra de observables cuánticos (más precisamente, del álgebra de relaciones canónicas de conmutación) es esencialmente única (es decir, es única hasta transformaciones unitarias ) . Entonces, la única representación relevante es la habitual (llamada representación de Schrödinger), y los estados físicamente relevantes son los que son normales con respecto a dicha representación (es decir, que se pueden escribir como matrices de densidad en el espacio de Hilbert correspondiente ).
En las teorías cuánticas de campos, por otro lado, hay infinitas representaciones irreducibles no equivalentes de las relaciones canónicas de (anti)conmutación. Por tanto, sí que hay estados que pueden representarse como matrices densidad (o vectores) en una representación, pero no en otra (se dice que no son normales respecto a esta última).
Además, el llamado teorema de Haag explica que las representaciones no equivalentes, o más precisamente los estados disjuntos (estados que no son normales frente a la irrepresentación GNS entre sí), juegan un papel muy importante en QFT. De hecho, dado un grupo actuando sobre el C*-álgebra de observables, y dos -estados invariantes (con una condición técnica adicional que no es importante aquí), entonces , o y son disjuntos. En una teoría relativista, el estado fundamental (o vacío) es invariante frente al grupo restringido de Poincaré. Además, es fácil ver que, en general, el vacío de una teoría libre y de una interactuante debe ser diferente (y ambas invariantes). Por lo tanto, según el teorema de Haag, son disjuntas y, por lo tanto, no pueden representarse como matrices de densidad en una sola representación.
Este es solo un ejemplo de por qué los estados no normales (como la irrepresentación libre o de Fock) son muy importantes en QFT, y por qué la descripción algebraica de las teorías cuánticas se usa con tanta frecuencia para la mecánica cuántica relativista.
El error esencial en su razonamiento es que contrasta las nociones incorrectas de "estado": se supone que los estados algebraicos no solo son estados vectoriales puros , es decir, representados por vectores en el espacio de Hilbert "natural" del sistema, sino que también incluyen todos los estados mixtos , es decir, matrices de densidad. Por supuesto, hay "más" (en el sentido de la dimensionalidad del espacio vectorial que forman estos estados) estados mixtos que estados puros.
Existe una condición abstracta para que un estado algebraico sea "puro", que es ser un punto extremo del espacio de estados algebraicos. "Extrema" es una condición bien definida porque el conjunto de estados algebraicos es convexo como un subconjunto del dual de los -álgebra, que es un espacio de Banach porque el -el álgebra en sí misma es una. Entonces, solo necesita construir un espacio de Hilbert con GNS donde los estados puros están representados por vectores, obtiene los estados mixtos como matrices de densidad en ese espacio "gratis".
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