Estados en QM y en el enfoque algebraico

En QM los estados son vectores en un espacio de Hilbert$\mathscr{H}$. Estos a menudo se denotan como$|\psi\rangle$.

Por otro lado, en el enfoque algebraico, tenemos uno$\ast$-álgebra$\mathscr{A}$y los estados son funcionales lineales$\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$tal que$\omega(a^\ast a)\in [0,\infty)$y$\omega(1)=1$.

No está del todo claro cómo se relacionan estas dos cosas.

Como primer paso, tenemos la construcción GNS. La construcción del GNS es la siguiente:

Construcción GNS : Dada una$\ast$-álgebra$\mathscr{A}$y un estado$\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$podemos construir un espacio de Hilbert$\mathscr{H}_\omega$, uno$\ast$-representación$\pi_{\omega} : \mathscr{A}\to \mathscr{A}(\mathscr{H}_\omega)$y uno$\Omega \in \mathscr{H}$tal que$\pi_{\omega}(\mathscr{A})\Omega$es denso y

$$\omega(a)=\langle \Omega ,\pi_\omega(a)\Omega\rangle.$$

Ahora tenemos algunas cosas interesantes:

1. Todo estado algebraico$\omega$da lugar a todo un espacio de Hilbert en el que$\omega$se convierte en el distinguido$\Omega$y produce un valor medio en el sentido QM habitual.

2. Los otros vectores unitarios en el espacio de Hilbert dan lugar a estados algebraicos. En realidad, si$\Phi\in \mathscr{H}$tenemos eso

   $$\omega_\Phi(a)=\langle \Phi, \pi_{\omega}(a)\Phi\rangle$$ es un estado algebraico. Es obviamente un funcional lineal y ciertamente satisface$\omega_{\Phi}(1)=1$y $$\omega_{\Phi}(a^\ast a)=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a^\ast a)\Phi\rangle=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a^\ast)\pi_{\omega}(a)\Phi\rangle=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a)^\ast \pi_\omega(a)\Phi\rangle=\langle \pi_\omega(a)\Phi,\pi_{\omega}( a)\Phi\rangle=|\Phi|^2\in [0,+\infty)$$

3. Por otra parte, no parece que todo estado algebraico dé lugar a un estado habitual en$\mathscr{H}_\omega$. En verdad, por el teorema de representación de Riesz bastaría que para todo estado algebraico$\phi$había un estado algebraico$\tilde{\Phi}$en$\mathscr{A}(\mathscr{H}_\omega)$. Esto a su vez requiere que$\tilde{\Phi}(\pi_{\omega}(a))=\phi(a)$por lo tanto, para que esto sea cierto, necesitaríamos$\pi_\omega$ser invertible. En otras palabras, la representación debe ser fiel.

Estos puntos muestran que, aunque relacionados con los vectores de estado habituales de QM, los estados algebraicos no son equivalentes a ellos. De hecho, parece que tenemos más estados algebraicos que vectores de estado.

Además, GNS nos permite representar cada estado como un vector de estado, pero en diferentes espacios de Hilbert. El punto (2) que hice entonces garantiza que cada vector de estado puede identificarse con un estado algebraico, pero hay otros aparte de él que no pertenecen a este espacio de Hilbert. Incluso, sin embargo, si elegimos uno de esos estados en (2) y realizamos la construcción GNS con ellos, parece que obtenemos un espacio Hibert completamente diferente.

Parece que el papel de los estados algebraicos es generar solo una representación y esto es bastante extraño, considerando el punto de vista habitual de QM sobre los estados.

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de entender los estados algebraicos? ¿Cómo se relacionan con la noción habitual de estados de QM? Para trabajar con ellos en la práctica, ¿siempre necesitamos usar la construcción GNS?

¿Cómo lidiamos con el hecho de que parece que hay más estados algebraicos que estados vectoriales QM, en el sentido de que cuando realizamos la construcción GNS algunos estados algebraicos parecen "omitidos"?