¿Qué kets representan en QFT?

Los kets representan una configuración del campo (y la terminología generalmente se actualiza de "espacio de Hilbert" a "espacio de Fock").$\lvert 0 1 0 \cdots 0\rangle$es que hay 1 excitación (una partícula) en algún lugar especificado por el segundo lugar en ese vector.

Para explicarlo, tomemos un ejemplo simple: una partícula en una caja. Normalmente, en grado cuántico se resuelve la ecuación de Schrödinger:

Aquí$\lvert \psi_1\rangle$es un objeto bien definido en la mecánica cuántica de partículas individuales (es decir,$\psi_1(x) = \langle x | \psi_1 \rangle$). Si resuelvo esta ecuación de valores propios para la primera:$E_1 = \pi/L$entonces obtengo la función de onda$\psi_1(x) = \sqrt{\frac2L}\sin(\pi x/L)$. Pero quiero más partículas y conviene pensar en$\psi_1(x)$como un campo ahora. Entonces, la forma en que hago esto es que pienso en un espacio "Fock" más grande que también tiene en cuenta la cantidad de partículas.

Si decimos que estos son bosones, entonces usamos operadores de escalera de bosones para crear una partícula. Entonces, di que$a_x^\dagger$crea un bosón exactamente en la posición$x$en nuestro sistema. Bueno el$\psi(x)$en nuestro cuadrado infinito el pozo no está en una sola posición, está repartido por toda la caja. Así que empezamos con un estado$\lvert{0}\rangle$que no tiene partículas, y para crear el estado asociado con nuestra solución a la ecuación de Schrödinger escribimos

la notación$\lvert{1 0 0 \cdots}\rangle$Es ahora que tengo una partícula en el primer nivel de energía. De hecho, el operador bosónico que crea una partícula a cualquier energía$n\pi/L$es solo

dónde$\psi_n(x)$tiene energía$n\pi/L$. Puede verificar fácilmente que estos todavía son operadores de escalera de bosones bien definidos y$[a_n,a_m^\dagger]=0$si$n\neq m$(¡la magia de la ortogonalidad!).

Entonces, en este sentido, los kets ahora son solo "configuraciones de campo": en la forma en que escribí el ket arriba para el segundo pozo cuadrado cuantizado$\lvert 1 2 5 0 0 \cdots \rangle$significa 1 partícula en$\psi_1$, 2 partículas en$\psi_2$y 5 partículas en$\psi_3$. A la gente le gusta escribir este ket como

donde el$a$'s son mi operador de campo. Eso es lo que significan los ket en la teoría cuántica de campos.

Los índices dentro de mi ket representan una base particular para mis operadores de campo de bosones$a_n$(la base energética). También podría escribir una cantidad similar en base al espacio de posición con$a_x^\dagger$y esos representan el campo en la teoría cuántica de campos$\Psi(\mathbf r)$.

Pero, ¿cómo cambia el hamiltoniano? Bueno, considera este objeto:

Ahora aplica esto a nuestro ket$\lvert{10\cdots}\rangle$. Después de un poco de álgebra de bosones obtenemos

¡Hemos encontrado nuestro hamiltoniano para el segundo espacio cuantizado de kets! Ahora, a la gente le gusta trabajar con el campo en lugar de con los kets, por lo que la gente usará este hamiltoniano.$\mathcal H$con el operador de campo$a_x$para obtener su evolución completa con el cuadro de Heisenberg .

Quiero decir, supongamos que Ψ es un campo cuántico, en ese caso Ψ(r) es un observable.

Ψ(r) es el campo del operador, no un observable. Lo observable es lo que aparece después de la operación sobre el estado fundamental.

Tome el campo de electrones. Se describe matemáticamente sobre todo el espacio-tiempo, ¡pero obviamente no todo el espacio-tiempo está lleno de electrones!

Si eso es cierto, Ψ(r) actúa sobre los kets del Espacio de Hilbert.

Un electrón libre, una onda plana en la primera cuantización, en la segunda cuantización está representada por los operadores de creación de electrones, su función sigue, creando y aniquilando, lo que en la primera cuantización es la dirección del paquete de ondas de electrones observable. Y no olvides que siempre hay una corrida integral para obtener la probabilidad de una observación específica, incluso de una partícula libre.

Pero ahora, esos kets representan exactamente qué,

Son la función de onda del estado fundamental de la primera solución de cuantificación del valor límite y el problema potencial en cuestión.

En el análisis matemático de la otra respuesta de qgp07, los ceros en los kets largos son la función de onda del estado fundamental del problema en cuestión.

si el sistema mismo ahora está siendo representado por Ψ?

Es una mala elección representar el campo del operador matemático por Ψ, confunde el campo con la función de onda.

Contemplar un diagrama de Feynman en el espacio puede ayudar.

Las líneas entrantes vienen en el espacio como la secuencia matemáticamente correcta de creación y aniquilación de la partícula que representa la línea. En los puntos de interacción, lo que son potenciales en la primera cuantización, se convierten en funciones de vértice y funciones de propagación bajo la integral que dará la probabilidad de interacción en eso (x,y,z,t). El espacio de energía/momento es la función predictiva más útil de los diagramas de Feynman, y la lógica es la misma.

Los kets en QFT pertenecen al espacio de Fock sobre el espacio de Hilbert de estados de partículas individuales en QM. En el caso bosónico, esta es el álgebra simétrica sobre el espacio de Hilbert y en el caso fermiónico, esta es el álgebra antisimétrica.