Mandelstam variables 1 positivo 2 negativo

Las tres variables de Mandelstam se definen como:

La variable de Mandelstam$s$da la energía del centro de masa y, por lo tanto, siempre es positiva, ahora para las variables de Mandelstam$t$y$u$las demandas se pueden encontrar mirándolas en el marco del laboratorio, después de un cálculo fácil se puede demostrar que:

Esto significa que debería existir una situación en la que las tres variables de Mandelstam sean positivas. Me preguntaba si existe tal situación, o simplemente estoy pasando por alto algunos hechos y que, de hecho, solo UNA variable de Mandelstam puede ser positiva.

Para profundizar más en el cálculo que me lleva a esta conclusión, he calculado estas variables en el marco en el que la partícula A está en reposo (ya que$s$,$t$y$u$son invariantes puedo hacer esto). Esto produce para los momentos:

$$p_A=(m_A,0),$$ $$p_B=(E_B,\vec{p}_B),$$ $$p_C=(E_C,\vec{p}_C),$$ $$p_D=(E_D,\vec{p}_D).$$ Entonces, para mis variables de Mandelstam obtendría eso: $$s=(p_A+p_B)^2=p_A^2+p_B^2+2p_A\cdot p_B = m_A^2+m_B^2+2m_AE_B,$$ $$t=(p_A-p_C)^2=p_A^2+p_C^2-2p_A\cdot p_C = m_A^2+m_C^2-2m_AE_C,$$ $$t=(p_A-p_D)^2=p_A^2+p_D^2-2p_A\cdot p_D = m_A^2+m_D^2-2m_AE_D,$$ donde utilicé la primera igualdad en la definición de las variables de Mandelstam. Podría hacer el mismo cálculo con la segunda igualdad, si luego descartara los términos de la forma $2m_AE$Obtendría las desigualdades anteriores.

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Editar: sé que la segunda igualdad no da términos simples$2mE$, pero los términos de la forma

$$E_CE_D-\vec{p_C}\cdot\vec{p_D}=E_CE_D-|\vec{p_C}||\vec{p_D}|\cos(\theta),$$ y desde $E^2=m^2+|\vec{p}|^2$tenemos eso $E>|\vec{p}|$, entonces estos términos son positivos.

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Edición 2: he calculado estos para el proceso no elástico$e^-e^+\rightarrow\mu^-\mu^+$(ya que los problemas inelásticos son la fuente del problema) y encontré que:

$$s=2m(m+E_B),$$ $$t=m^2+M^2-2mE_C,$$ $$u=m^2+M^2-2mE_D,$$ dónde $m$es la masa del electrón y $M$es la masa del muón, partícula $A$(ya sea un electrón o un positrón) está parado y para la partícula $B$(electrón o positrón) y $C$y $D$(las 2 partículas de muón) las energías son $E_B$, $E_C$y $E_D$. La variable $s$es obviamente positivo, para comprobar si $t$de $u$son positivos los sumé y usé la conservación de la energía: $m+E_B=E_C+E_D$, lo que da: $$t+u=2(m^2+M^2)-2m(m+E_B)=2(m^2+M^2)-s,$$ ahora, para poder crear 2 muones, la energía debe ser lo suficientemente alta, por lo tanto $s=(2M)^2$, llenando esto en los rendimientos: $$t+u=2(m^2-M^2).$$ Lo que me lleva de nuevo a la pregunta: ''¿Debería ser positiva solo una de las tres variables (como afirman la mayoría de los libros) o hay casos especiales''? En mi derivación anterior utilicé las leyes de conservación, pero como puede ver en este ejemplo, la posibilidad de $t$y $u$siendo positivo (para lo suficientemente pequeño $E_B$) se desvanece exigiendo que el centro de masa de energía $\sqrt{s}$es lo suficientemente grande, ¿será siempre así?