Dificultad conceptual en la comprensión del Espacio Vectorial Continuo

Su duda no es ridícula, probablemente se deba simplemente a la forma confusa en que a menudo se enseñan las matemáticas en la física. (Yo también soy físico y, durante mi carrera, tuve que soportar conceptos erróneos ridículos, perdiendo mucho tiempo abordando problemas pseudomatemáticos inexistentes en lugar de centrarme en problemas físicos genuinos). Hay definiciones matemáticas sensatas , pero también hay un uso práctico de las matemáticas en la física. Los desastres surgen, en mi opinión, cuando se confunden los dos niveles, especialmente al enseñar a los estudiantes.

El espacio de Hilbert de una partícula en QM no es continuo: es un espacio de Hilbert separable ,$L^2(\mathbb R)$que, sólo por ser separable, admite bases ortogonales contables discretas .

Además, un teorema bien conocido demuestra que si un espacio de Hilbert admite una base ortonormal contable, entonces todas las demás bases son contables (más generalmente, todas las bases de Hilbert tienen la misma cardinalidad).

En$L^2(\mathbb R)$, una base contable con significado físico es, por ejemplo, la formada por los vectores propios$\psi_n$del operador hamiltoniano del oscilador armónico.

Sin embargo, es conveniente para cálculos prácticos hablar también de vectores propios formales de, por ejemplo, el operador de posición:$|x\rangle$. En este caso,$x \in \mathbb R$por lo que podría parecer que$L^2(\mathbb R)$admite también bases incontables. ¡Es falso!$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$no es una base ortonormal. Es solo un objeto formal , (muy) útil en los cálculos.

Si desea hacer rigurosos estos objetos, debe representar el espacio de los estados como una integral directa sobre$\mathbb R$de espacios de dimensión finita$\mathbb C$, o como un espacio de Hilbert amañado . En ambos casos sin embargo$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$no es una base hilbertiana ortonormal. Y$|x\rangle$no pertenece a la$L^2(\mathbb R)$.

Como comentario final, me gustaría enfatizar que los vectores de$L^2(\mathbb R)$son clases de equivalencia de funciones:$\psi$es equivalente a$\phi$si y si$\int| \psi(x)−\phi(x)|^2 dx=0$, Así que si$\psi(x)\neq \phi(x)$sobre un conjunto cuya medida se anula, definen sin embargo el mismo vector de$L^2$. En consecuencia, el valor que asume un elemento del espacio en un momento dado$x$no tiene ningún sentido, ya que cada conjunto$\{x\}$tiene medida cero.