¿Por qué existe una dependencia del tiempo en los estados de Heisenberg de la teoría de dispersión de Haag-Ruelle?

Question

¿Por qué existe una dependencia del tiempo en los estados de Heisenberg de la teoría de dispersión de Haag-Ruelle?

andrea becker

Estoy leyendo el famoso libro de R. Haag " Física cuántica local: campos, partículas, álgebras ", segunda edición, y estoy muy desconcertado por la forma en que trata la imagen de Heisenberg en la teoría de dispersión de Haag-Ruelle. Comienza en la sección " II.3 Interpretación física en términos de partículas ", donde, en la página 76, establece claramente " Nuestra descripción está en la imagen de Heisenberg. Así que $\Psi_{i\alpha}$ describe el estado "sub specie aeternitatis"; podemos asignarle, como en (I.3.29), una función de onda en el espacio-tiempo que obedece a la ecuación de Klein-Gordon. "

Luego, en la página 77, dice: " Supongamos que los vectores de estado $\Psi_1$ , $\Psi_2$ describir estados que en un momento determinado $t$ están localizados en regiones espaciales separadas $V_1$ , $V_2$ . “A partir de aquí comienza toda la construcción.

Apreciaría mucho que un experto en dispersión de Haag-Ruelle o quien sepa la respuesta respondiera a mi pregunta de por qué un vector de estado en la imagen de Heisenberg como $\Psi_1$ y $\Psi_2$ anterior depende del tiempo, cuando es de conocimiento común que no hay una dependencia del tiempo asignada a los vectores de estado en la imagen de Heisenberg?

EDICIÓN 1: hasta hace poco, ni siquiera sabía cómo se podría describir un proceso de dispersión en la imagen de Heisenberg de QM, ya que una vez que se prepara el estado inicial en $t_i = - \infty$ , este estado permanecerá sin cambios para todo el tiempo y será el mismo para $t_f = + \infty$ , y por lo tanto no podría haber dispersión (y mucho menos producción de partículas, dispersión de 3 cuerpos, colisiones de reordenamiento, etc.). ¿Cómo resolver este problema? Luego descubrí una de las presentaciones más lúcidas en el artículo de H. Ekstein, "Teoría de la dispersión en el campo", http://link.springer.com/article/10.1007/BF02745471

La idea básica es la siguiente: se prepara un estado del sistema en $t_i = -\infty$ midiendo un conjunto completo de observables compatibles representados por operadores en la imagen de Heisenberg (es decir, dependiente del tiempo), digamos $A(t_{i}), B(t_{i})$ , etc. Obviamente, este estado preparado es un vector propio común de estos operadores, digamos $|a,b,...; t_{i}\rangle$ correspondiente a los valores propios (obtenidos en la medición) $a, b$ ,.... , es decir, $A(t_{i})|a,b,...; t_{i}\rangle = a|a,b,...; t_{i}\rangle, B(t_{i})|a,b,...; t_{i}\rangle = b|a,b,...;t_{i}\rangle$ , etc.

Entonces, uno deja que el sistema evolucione de $t_i = -\infty$ a $t_f = +\infty$ . Obviamente, el vector de estado del sistema permanece sin cambios, a saber $|a,b,...; t_{i}\rangle$ para cualquier momento $t$ , con $t_i \leq t \leq t_f$ , ya que estamos en la imagen de Heisenberg, pero los operadores que representan observables dinámicos cambian en el tiempo de acuerdo con la ecuación de movimiento de Heisenberg.

En el momento $t_f = +\infty$ , se mide de nuevo el sistema eligiendo un conjunto completo de observables compatibles, digamos $C(t_{f}), D(t_{f})$ ,.... Como resultado de esta medición, el estado del sistema cambia, en el momento $t = t_f$ , de $|a,b,...; t_{i}\rangle$ a $|c,d,...; t_{f}\rangle$ , dónde $|c,d,...; t_{f}\rangle$ es un vector propio común de los operadores $C(t_{f}), D(t_{f})$ ,..., correspondientes a los valores propios $c, d,$ ... obtenido en la medición (en el tiempo $t = t_f$ ), es decir $C(t_{f})|c,d,....; t_{f}\rangle = c|c,d,....; t_{f}\rangle, D(t_{f})|c,d,....; t_{f}\rangle = d|c,d,....; t_{f}\rangle$ , etc.

La cantidad de interés es la amplitud de transición desde el estado de Heisenberg $|a,b,...; t_{i}\rangle$ al estado Heisenberg $|c,d,...; t_{f}\rangle$ , y esto viene dado por el elemento de matriz S $S_{a,b,...; c,d,...} = \langle c,d,...; t_{f}| a,b,...; t_{i}\rangle$ .

Para resumir: la clave para comprender la dispersión en la imagen de Schrödinger o Heisenberg es darse cuenta de que implica 2 operaciones experimentales, a saber, la preparación en $t = t_i$ y medición en $t = t_f$ .

Un enfoque lógico para resolver un problema de dispersión en la imagen de Heisenberg (como lo presenta Ekstein) es el siguiente:

H0) Para cualquier observable dado, resuelva la ecuación de movimiento de Heisenberg para encontrar su dependencia del tiempo, es decir, el operador $A(t)$ .
H1) Para cualquier operador de Heisenberg (que representa un observable) $A(t)$ encontrar los valores asintóticos $A_i = \lim_{t \rightarrow -\infty} A(t)$ y $A_f = \lim_{t \rightarrow +\infty} A(t)$
H2) Resolver el problema de valores propios para los operadores asintóticos $A_i$ y $A_f$ . Los vectores propios son los estados de dispersión asintóticos correspondientes.
H3) Seleccionar un sistema completo de observables compatibles (CSCO) que corresponda al estado de preparación en $t = t_i$ , denotada genéricamente por $A_i$ . Seleccione un CSCO que corresponda a la medición en $t = t_f$ , denotada genéricamente por $C_f$ .
H4) Calcular los elementos de la matriz entre los vectores propios determinados en el paso H2), a saber $\langle c, t_{f}| a, t_{i}\rangle$ , dónde $|a, t_{i}\rangle$ es un vector propio de $A_i = A(t_{i})$ , y $|c, t_{f}\rangle$ es un vector propio de $C_f = C(t_{f})$ .

Con respecto a la dispersión de Haag-Ruelle, las cosas son muy confusas. El argumento principal es el mismo en todos los libros disponibles. En lugar de seguir los pasos muy lógicos H1)-H4) presentados arriba, uno comienza construyendo un vector dependiendo de un parámetro $"t"$ y muestra que este vector tiene límites cuando $|t|$ se vuelve infinito. Debo decir que este tipo de razonamiento recuerda la forma en que uno trata la dispersión en la imagen de Schrödinger (SP). En el SP, uno comienza con un vector de estado arbitrario $|\Psi (t)\rangle$ que depende del tiempo de acuerdo con el SP y luego debe mostrar que $|\Psi (t)\rangle$ tiene asíntotas cuando (el tiempo real) $|t|$ se vuelve infinito.

Le agradecería mucho si me pudiera ayudar con algunas respuestas a estas preguntas:

1) ¿Cuál es la relación entre el parámetro $"t"$ de la dispersión de HR y el tiempo real , desde cuando $"t"$ se vuelve infinito afirman haber obtenido los estados asintóticos de dispersión?
2) ¿Cuál es la interpretación física de los vectores? $\psi_t$ en la dispersión de recursos humanos? ¿Se obtienen como resultado de una medición? ¿Están en el cuadro de Heisenberg o en el cuadro de Schrödinger?
3) ¿Existe un CSCO tal que los estados de dispersión asintótica HR sean los vectores propios de este CSCO? En caso afirmativo, ¿es este CSCO el límite asintótico de un tiempo finito Heisenberg CSCO, como se describe en los pasos H1)-H4)?
4) ¿Se pueden obtener estados de dispersión asintótica para un CSCO ARBITRARIO utilizando el método HR? Este debería ser el caso ya que uno puede preparar el estado inicial como quiera en $t = t_i$ , y luego puede elegir medir lo observable que uno quiere en $t = t_f$ , y por lo tanto los CSCO correspondientes a la preparación y medición deben ser arbitrarios.

EDICIÓN 2: @Pedro Ribeiro Sus objeciones a la construcción de Ekstein quizás sean infundadas:

Elegí un espectro discreto para CSCO en mi presentación de EDIT 1 solo para transmitir la idea general con una notación mínima. En el caso de un espectro continuo, se pueden utilizar operadores de proyección espectral según el QM de von Neumann.
Un operador de Heisenberg $A(t)$ actúa en el espacio de Hilbert completo, es decir, en el mismo espacio de Hilbert en el que se encuentra el hamiltoniano total $H$ hechos. El teorema de Haag tiene que ver con el hecho de que el hamiltoniano libre $H_0$ y el hamiltoniano completo $H$ actuar sobre 2 espacios de Hilbert diferentes. No hay conexión entre $A(t)$ y $H_0$ o su espacio de Hilbert asociado para cualquier momento $t$ , finito o infinito. Por lo tanto, el teorema de Haag no tiene nada que ver con $\lim_{t \rightarrow \pm\infty} A(t)$ y por lo tanto no prohíbe la existencia de este límite. Ejemplos: si $A(t)$ viaja con $H$ , entonces $A(t)$ es constante en el tiempo y el límite seguramente existe (ver, por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento). De hecho, ¡toda la idea de LSZ se basa en tales límites!

Es solo una forma en que un estado puede depender del tiempo . $t$ en el cuadro de Heisenberg . Ese momento $t$ tiene que ser un momento en el que algún operador de Heisenberg, digamos $A(t)$ , se mide en el sistema, y como efecto el estado se convierte en un vector propio $|a,t\rangle$ de ese operador. De lo contrario, los vectores de estado en la imagen de Heisenberg no evolucionan dinámicamente en el tiempo. Uno puede mirar mi publicación .

De su presentación todavía no está muy claro si el parámetro $"t"$ es el momento en el que se elige medir un CSCO en el sistema y se obtiene un vector propio (?) $\psi_t$ . Para eso, uno tiene que construir tal Heisenberg CSCO y demostrar que $\psi_t$ es su vector propio (correspondiente a algún valor propio) en el tiempo $t$ . ¿Se puede mostrar eso?

Mientras tanto, descubrí algunas notas de conferencias de Haag publicadas en Conferencias sobre física teórica, Volumen III , editado por Brittin and Downs, Interscience Publishers. A partir de la página 343 Haag discute su teoría y en sus propias palabras dice muy claramente que el $\psi_t$ estados están manifiestamente en la imagen de Schrödinger , y $t$ es el tiempo habitual. Sólo los límites asintóticos de $\psi_t$ Haag considera representar estados de dispersión en la imagen de Heisenberg. Pero incluso eso no puede funcionar desde $\psi_t$ tiene 2 límites, $\psi_{\pm} = \lim_{t\rightarrow\pm\infty}\psi_t$ , y por lo tanto se necesitan 2 imágenes de Heisenberg diferentes, una que coincida con la imagen de Schrödinger en $t = -\infty$ , y una segunda, que coincide con el cuadro de Schrödinger en $t = +\infty$ . Entonces, él no permanece todo el tiempo en la imagen de Heisenberg, sino que usa la mayor parte del tiempo la imagen de Schrödinger, y al final, aparentemente, 2 imágenes de Heisenberg diferentes. Sin embargo, es bien sabido que la imagen de Schrödinger no existe en qft relativista debido a los efectos de polarización del vacío. Entonces, ¿qué queda de la teoría de Haag-Ruelle?

david z

Hola Andrea, por favor no edites tanto tus publicaciones. No deberías editar una sola publicación más de 3 o 4 veces, en la mayoría de los casos. Cuando edite, revise y realice todos los cambios necesarios, todos a la vez, en lugar de realizar solo un pequeño cambio en cada edición.

Respuestas (3)

¿Por qué existe una dependencia del tiempo en los estados de Heisenberg de la teoría de dispersión de Haag-Ruelle?

Hola Andrea, por favor no edites tanto tus publicaciones. No deberías editar una sola publicación más de 3 o 4 veces, en la mayoría de los casos. Cuando edite, revise y realice todos los cambios necesarios, todos a la vez, en lugar de realizar solo un pequeño cambio en cada edición.

Pedro Lauridsen Ribeiro · Answer 1

La "imagen de Heisenberg" a la que se hace referencia en la página 76 del libro de Haag se aplica al espacio de Hilbert de una sola partícula. $\mathcal{H}^{(1)}$ y por lo tanto a los espacios de Hilbert "dentro" y "fuera", es decir, a veces $t\to\pm\infty$ respectivamente. La discusión en la página 77, a su vez, se refiere a estados en el espacio de Hilbert interactuante (Wightman-GNS). A este respecto, debe señalarse que la discusión en la página 77 (particularmente las fórmulas (II.3.3) y (II.3.4)) no es muy precisa - lo que Haag realmente quiere decir es el contenido del Teorema 4.2.1, pp. 88 , como ( EDITAR ) lo explicaré con más detalle a continuación.

La reciente ampliación de su pregunta hizo más claros los problemas que le preocupan. En primer lugar, hay algunos puntos que debe abordar antes de evaluar sus preguntas 1)-4) de manera conceptualmente rigurosa:

Parece que está tratando con observables con un espectro de puntos puros solamente. La mayoría de los observables no son de este tipo: los puntos en la parte continua del espectro no son valores propios en el sentido de que tienen vectores propios correspondientes. Tienen lo que se llama "vectores propios generalizados" correspondientes, que estrictamente hablando no están contenidos en el espacio de Hilbert.
En QFT, los límites $\lim_{t\to\pm\infty}A(t)$ por lo general no existen en el sentido del operador para los observables relevantes. Esto se debe principalmente al teorema de Haag , el mismo que nos dice que no hay imagen de interacción en QFT. Esa es la razón técnica por la cual el parámetro de tiempo $t$ debe aparecer en vectores de estado, ya que el límite asintótico solo se puede aproximar aplicando $A(t)$ primero a algún estado (a saber, el estado de vacío).

Los puntos anteriores muestran que hacer que los pasos H1)-H2) sean rigurosos (especialmente en el contexto de QFT) es bastante problemático. H3)-H4), por otro lado, no están tan lejos.

En segundo lugar, quiero enfatizar algunos puntos conceptuales sobre la teoría de dispersión de Haag-Ruelle. Lo hago a riesgo de ser un poco pedante, pero quiero establecer un contexto preciso de manera autónoma. Recuerde que la teoría de Haag-Ruelle es un marco de dispersión para las teorías cuánticas de campos . Independientemente de si trabaja con campos de Wightman o con una red de Haag-Kastler de C*-álgebras, esto significa que todos los campos (difuminados) y todos los observables (locales) se consideran localizados en una determinada región del espacio-tiempo , en el sentido de microcausalidad relativista: los observables localizados en regiones de espacio-tiempo causalmente disjuntas deberían conmutar(para campos manchados, conmutan o anticonmutan, según su giro). Esto es radicalmente diferente de la mecánica cuántica (no relativista). En particular, se debe pensar que cualquier observable local dado se mide dentro de una cierta región del espacio y dentro de un cierto intervalo de tiempo. Una localización de "tiempo agudo" para observables solo es posible para campos libres , que por supuesto tienen una teoría de dispersión trivial. En otras palabras, los observables locales y los campos difuminados en QFT siempre están en la imagen de Heisenberg, pero su localización temporal no suele ser "nítida".

Dado cualquier polinomio de campo local observable o difuminado $A$ localizado en una región del espacio-tiempo $\mathscr{O}$ , el efecto de las traslaciones temporales (usando la evolución temporal unitaria de la teoría) simplemente tiene el efecto de trasladar la región de localización $\mathscr{O}$ de $A$ en el tiempo - más precisamente, la región de localización de $A(t)$ es

O_{t} = {(X^{0} + t, X^{1}, X^{2}, X^{3}) | (X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in O} .

$\mathscr{O}_t=\{(x^0+t,x^1,x^2,x^3)\ |\ (x^0,x^1,x^2,x^3)\in\mathscr{O}\}\ .$ Más generalmente, si

U (x)

$U(x)$ es el operador unitario que implementa la traducción espacio-temporal por

x = (t, x)

$x=(t,\mathbf{x})$ , entonces

A_{x} = U (x) A U (x)^{*}

$A_x=U(x)AU(x)^*$ se localiza en

O + x

$\mathscr{O}+x$ (de modo que

O + (t, 0) = O_{t}

$\mathscr{O}+(t,\mathbf{0})=\mathscr{O}_t$ ). Esto (espero) responda a su pregunta 1).

Sin embargo, la entrada y la salida de un experimento de dispersión se encuentran a tiempos y distancias grandes del centro de dispersión, por lo que es más apropiado hablar sobre la localización del impulso cuando se trata de estados de dispersión. Para construir este último, necesitamos observables locales o polinomios de campo difuminado con una amplitud de transición distinta de cero entre el estado de vacío y un subespacio de una partícula con masa (digamos) $m>0$ , cuya existencia es uno de los supuestos de la teoría de Haag-Ruelle. Dichos operadores existen gracias al teorema de Reeh-Schlieder. Uno entonces localiza tal operador (llamémoslo $Q$ ) en una región de energía-momento $\widehat{K}$ disjunto del resto del espectro de energía-momentum (recuerde que hay una vecindad abierta $m^2-\epsilon<p^2<m^2+\epsilon$ , $0<\epsilon<m^2$ en el espacio de energía-momento cuyos únicos puntos $p$ pertenecientes al espectro de energía-momento se encuentran precisamente en la capa de masa $p^2=m^2$ , por el supuesto de la brecha de masas de la teoría de Haag-Ruelle) difuminando la función con valores de operador $x\mapsto Q_x$ con una función de prueba temperada $f$

q_{F} = \int_{R^{4}} F (X) q_{X} d^{4} X

$Q_f=\int_{\mathbb{R}^4}f(x)Q_x\mathrm{d}^4 x$

cuya transformada de Fourier $\hat{f}$ es de la forma $\hat{f}(p)=h(p^2)\tilde{f}(\mathbf{p})$ , dónde $h$ es una función suave en $\mathbb{R}$ apoyado en $(m^2-\epsilon,m^2+\epsilon)$ y $\text{supp}\tilde{f}$ es tal que $\{(\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2},\mathbf{p})\ |\ \mathbf{p}\in\text{supp}\tilde{f}\}\subset\widehat{K}$ . Se obtiene que si $|\Omega\rangle$ es el vector de vacío, entonces $Q_f|\Omega\rangle$ es un estado de una partícula con función de onda de momento $\tilde{f}(\mathbf{p})$ . Luego escribimos $Q(t,f)=(Q_f)_t$ - dado que el subespacio de una partícula es invariante bajo la acción del grupo de traducción, $Q(t,f)|\Omega\rangle$ sigue siendo un estado de una partícula, con función de onda de momento $e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}}\tilde{f}(\mathbf{p})$ . Debería quedar claro en este punto que la forma precisa del observable local $Q$ no es importante.

Una forma de pensar en lo observable $Q(t,f)$ es el siguiente: aplicando $Q(t,f)$ al estado de vacío le agrega un "trozo de energía-momentum", localizado en $\widehat{K}\cap\{p^2=m^2\}$ . Por el principio de incertidumbre, $Q_f$ no puede ser un observable local , pero es "casi local" en el sentido de que el conmutador con cualquier observable localizado en una región causalmente disjunta debería ser "insignificante" a grandes distancias, más o menos como funciones de prueba temperadas con soporte no compacto ( ej., gaussianas). El efecto de la traducción del tiempo por una cantidad. $t$ es que el centro de localización aproximado se dispersa espacialmente con los desplazamientos $t\mathbf{v}=t\mathbf{p}/m$ , dónde $\mathbf{p}$ pertenece al apoyo de $\tilde{f}$ . Piense en ello como un grupo disperso de partículas clásicas de masa. $m$ en movimiento libre a velocidades $\mathbf{v}=\mathbf{p}/m$ . Esta imagen intuitiva se puede hacer rigurosa con la ayuda del método de la fase estacionaria.

Si ahora se considera un operador monomio $Q(t,f_1)\cdots Q(t,f_n)$ , dónde $\hat{f}_j(p)=h(p^2)\tilde{f}_j(\mathbf{p})$ , $j=1,\ldots,n$ , uno puede pensar en ello como agregar $n$ "trozos de energía-momentum" al estado de vacío. El punto clave es que si los soportes del $\tilde{f}_j$ son todos disjuntos , los centros de localización correspondientes se alejan entre sí de modo que sus conmutadores se vuelven insignificantes en grandes momentos. Entonces, en cierto sentido, los observables "casi locales" $Q(t,f_j)$ se vuelven "asintóticamente compatibles" y los "trozos de energía-momentum" anteriores se vuelven efectivamente no interactivos en grandes momentos, dando así origen asintóticamente a $n$ -estados de partículas. Esto es precisado por la afirmación de que

ψ_{t} = q (t, F_{1}) \dots q (t, F_{norte}) | Ω ⟩

$\psi_t=Q(t,f_1)\cdots Q(t,f_n)|\Omega\rangle$ converge a

n

$n$ -estados de partículas con funciones de onda de momento

{\tilde{f}}_{j} (p)

$\tilde{f}_j(\mathbf{p})$ ,

j = 1, \dots, n

$j=1,\ldots,n$ como

t \to \pm \infty

$t\to\pm\infty$ para cada

n

$n$ . En tiempos finitos pero grandes, uno puede pensar en

ψ_{t}

$\psi_t$ como un estado que produce una respuesta distinta de cero alrededor del tiempo

t

$t$ de un arreglo coincidente de

n

$n$ detectores con "ventanas de detección de momento" contenidas en los soportes de la

{\tilde{f}}_{j}

$\tilde{f}_j$ 's y regiones de localización espacio-temporal (aproximadas) contenidas en las del

Q (t, f_{j})

$Q(t,f_j)$ 's, pero produce una respuesta "insignificante" de un arreglo de coincidencia similar de

n + 1

$n+1$ detectores Esta interpretación puede incluso usarse (algo tautológicamente) para proporcionar una definición operativa de lo que es una partícula en QFT. Esto (espero que también) responda a su pregunta 2).

Ahora también estamos en condiciones de abordar las preguntas 3) y 4). En QFT, el espacio de Hilbert se genera aplicando todos los polinomios de operadores de campo difusos o todos los observables locales ( ¡ no necesariamente compatibles!) al estado de vacío. De hecho, por el teorema de Reeh-Schlieder, tales estados son un conjunto total en el espacio de Hilbert incluso si nos restringimos a una única región espacio-temporal con complemento causal no vacío. Sin embargo, los espacios de Hilbert "dentro" y "fuera" en la teoría de Haag-Ruelle se obtienen aplicando al estado de vacío un subconjunto especial de operaciones "casi locales", a saber, polinomios en el $Q(t,f_j)$ es para todos $f_j$ como arriba - y tomando respectivamente los límites asintóticos $t\to\pm\infty$ . Como se discutió en el párrafo anterior, los observables $Q(t,f_j)$ son solo "asintóticamente" compatibles, pero como señalé al principio, esta imagen debe tomarse cum grano salis ya que el operador limita $\lim_{t\to\pm\infty}Q(t,f_j)$ normalmente no existen. No obstante, dado que los espacios de Hilbert "dentro" y "fuera" se obtienen como subespacios del espacio de Hilbert que interactúa, cualquier estado "dentro" puede prepararse con precisión arbitraria mediante la aplicación de operaciones locales (incluso en una sola región de espacio-tiempo con relaciones causales no vacías). complemento) al estado de vacío. Esto es lo más cerca que podemos estar de una respuesta positiva a su pregunta 3). En cuanto a la pregunta 4), esto está relacionado con si los espacios de Hilbert "dentro" y "fuera" coinciden con todo el espacio de Hilbert que interactúa, es decir, si nuestra teoría de campo es asintóticamente completa . Esto suele ser una suposición adicional, que nunca ha sido probada excepto en casos triviales (es decir, gratuitos). Sabemos, sin embargo, que cada vez que un modelo tiene estados ligados, solitones, etc.,

Finalmente, debo señalar que el tratamiento de la teoría de dispersión de Haag-Ruelle en el libro de Haag es casi telegráfico en partes (como estas) y no es realmente un buen primer lugar para aprender este tema. Mejores referencias son la Sección XI.16, pp. 317-331 Volumen III ( Teoría de dispersión ) del libro Methods of Modern Mathematical Physics de Michael Reed y Barry Simon (Academic Press, 1979) y el Capítulo 5 del libro Mathematical Theory of Quantum Fieldspor Huzihiro Araki (Oxford University Press, 1999), particularmente en el orden anterior: Reed y Simon introducen la suposición pedagógicamente simplificadora de que el propio operador de campo interpola entre el vacío y el espacio de Hilbert de una partícula (físicamente, las partículas que aparecen en el espacio asintótico estados no son "compuestos" con respecto al campo). Como se discutió anteriormente, esta suposición se puede eludir con la ayuda del teorema de Reeh-Schlieder.

Gracias por las referencias, pero en este momento no me preocupan las manipulaciones matemáticas, sino la forma física de plantear el problema de dispersión en la imagen de Heisenberg y la interpretación de los resultados. ¿Cómo se puede afirmar/describir realmente la dispersión en la imagen de Heisenberg cuando los vectores de estado son constantes en el tiempo? ¿Por qué los vectores de estado son dependientes del tiempo? ¿Estamos volviendo a la imagen de Schroedinger?
Los estados de dispersión se construyen mediante un "operador de creación de una partícula" dependiente del tiempo, casi local. $q_{i,\alpha}(h_i,t)$ (vea la fórmula (II.4.15) en la pág. 88), que luego se aplican al vector de vacío como en la fórmula (II.4.17); es por eso que en la dispersión de Haag-Ruelle uno realmente está trabajando en la imagen de Heisenberg. Los estados resultantes (no factorizados) tienen la localización aproximada indicada en la página 77 y son claramente dependientes del tiempo, pero la dependencia del tiempo se elimina en el límite asintótico. $t\to\pm\infty$ . Con solo leer las páginas 76-77, uno no puede obtener la imagen de arriba.
Sé todo eso. He leído hasta el final, pero todavía hay un problema INTERPRETACIONAL. En la teoría de dispersión formulada en la imagen de Schrödinger, uno tiene que mostrar que una $|\Psi (t)\rangle$ converge a estados asintóticos cuando $|t|$ se vuelve infinito. Pero en la foto de Sch $|\Psi\rangle$ ES dependiente del tiempo. En el libro y en todas partes de la teoría de los recursos humanos se construye un dependiente del tiempo $|\Psi (t)\rangle$ y muestra que tiene límites, pero ¿cuál es la interpretación física de este vector en el Cuadro de Heisenberg? Además, ¿es este vector dependiente del tiempo lo más general que puede ser?
Sus objeciones a H1) y H2) son infundadas. Ver EDICIÓN 2 arriba.

fénix87 · Answer 2

Desafortunadamente, no tengo referencias precisas al minuto sobre el siguiente argumento, sino solo algunas notas tomadas durante las conferencias de S. Doplicher.

La teoría de dispersión de Haag-Ruelle parte de la observación de que los observables no se pueden utilizar para construir estados asintóticos a partir del vacío, ya que dejan invariantes los sectores de superselección. Por lo tanto, uno necesita usar operadores de campo. Las consideraciones sobre la transformada de Fourier llevan a la conclusión de que, dado un operador de campo $B$ , uno tiene que construir un operador cuasi-local $\tilde B$ a partir de datos de localización para un estado de una sola partícula [los detalles deben estar contenidos en el trabajo original de Haag-Ruelle]. Luego, se construye un estado de una sola partícula simplemente como

ϕ = B Ω

$\phi = B\Omega$

Ahora construimos el estado de Heisenberg. Con esto me refiero a un estado que no varía en el tiempo. Esto se puede lograr considerando la ecuación de continuidad asociada a la ecuación de campo de Klein-Gordon y, en particular, considerando el producto interno independiente del tiempo que se deriva de ella. Para ser concreto, tome el estado de una partícula $phi$ y establecer

B_{ϕ} (t) Ω := \int_{R^{3}} \bar{ϕ (X)} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} tu (X, I) B Ω d^{3} X,

$B_\phi(t)\Omega := \int_{\mathbb R^3}\overline{\phi(x)}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}U(x,I)B\Omega\ \text d^3\mathbf x,$ dónde

U

$U$ es una representación del grupo Poincaré en el espacio Fock. Obsérvese que, en general,

B_{ϕ} (t)

$B_\phi(t)$ Dependerá del tiempo, pero por construcción.

B_{ϕ} (t) Ω

$B_\phi(t)\Omega$ no. Por eso

ψ := B_{ϕ} (t) Ω = B_{ϕ} (0) Ω, \forall t \in R

$\psi:=B_\phi(t)\Omega = B_\phi(0)\Omega,\qquad\forall t\in\mathbb R$ en la práctica, y así es como se puede obtener el límite asintótico.

La construcción de $n$ -estados de partículas se basa en la elección de estados de partículas individuales con soporte disjunto en el espacio de momento. Esto es para garantizar que, en el límite asintótico, las partículas estarán bien separadas (léase muy separadas ), en el espacio y prácticamente libres, es decir, sin interactuar. El estado es entonces de la forma

Ψ^{t} := B_{1 ϕ_{1}} (t) \dots B_{norte ϕ_{norte}} (t) Ω,

$\Psi^t := B_{1\phi_1}(t)\cdots B_{n\phi_n}(t)\Omega,$ dónde

B_{k}

$B_k$ y

ϕ_{k}

$\phi_k$ es una elección de operadores cuasi-locales y soluciones a las ecuaciones de Klein-Gordon hechas como se describe arriba.

La propiedad de agrupamiento muestra que el estado anterior tiene la forma de un producto de estados y, por lo tanto, se puede establecer

Ψ^{en} = ψ_{1} \times^{en} \dots \times^{en} ψ_{norte} := \underset{t \to - \infty}{límite} Ψ^{t}

$\Psi^{\text{in}} = \psi_1\times^{\text{in}}\cdots\times^{\text{in}}\psi_n:=\lim_{t\to-\infty}\Psi^t$ y del mismo modo para el saliente

n

$n$ -estados de partículas.

Gracias por hacer las cosas mucho más claras, pero todavía queda el problema con $\Psi^{t}$ . Obviamente depende del tiempo y, por lo tanto, no puede estar en la imagen de Heisenberg.
El $t$ en $\Psi^t$ es simplemente una etiqueta. Como se dijo anteriormente, $B_\phi(t)\Omega = B_\phi(0)\Omega$ . La dependencia del tiempo está solo en el producto de los operadores cuasi-locales, pero tan pronto como este producto toca el vector de vacío, se vuelve independiente del tiempo por construcción en el límite asintótico por la propiedad de agrupamiento.
Me gusta mucho, pero estoy un poco confundido acerca de tomar el límite para $-\infty$ entonces. ¿Por qué debería uno tomar el límite si $\Psi^{t} = \Psi^{0}$ para cualquier $t$ ?
No para cualquiera $t$ en el caso de la $n$ -estado de partícula. Debe hacer uso de la hipótesis sobre el soporte en el espacio de momento de las funciones de onda de partículas individuales y la agrupación para luego usar la propiedad de que $B_\phi(t)\Omega = B_\phi(0)\Omega$ para cualquier $t$ .
Si solo el límite asintótico es independiente del tiempo, entonces para un tiempo finito $\Psi^{t}$ depende de $t$ y no puede estar en el cuadro de Heisenberg.
Pero los estados asintóticos es de lo que se trata la teoría de los recursos humanos, ¿no es así? Esto es lo que usas para luego definir el $S$ matrix como el operador unitario que rota un estado "dentro" al correspondiente estado "fuera" (advertencias: 1. algunas personas usan las convenciones opuestas; 2. se debe asumir la integridad del estado asintótico).
Sí, la dispersión se trata de estados asintóticos, pero me parece que HR es como la dispersión en la imagen de Schrödinger, mientras que el objetivo de la qft axiomática es hacer todo en la imagen de Heisenberg como lo hizo Ekstein. Dirac tiene un artículo en el que muestra que la imagen de Schrödinger debe prohibirse en qft debido a los efectos de polarización del vacío.
Hay una pregunta muy importante que olvidé hacer: ¿Es la norma del vector $\Psi^{t}$ igual a 1 para cualquier $t$ ? Cualquier referencia o una prueba para esta pregunta sería muy apreciada.
Realmente no importa, ya que el estado asociado al vector $\Psi^t$ se construye como $\omega_{\Psi^t}(A)=\frac{(\Psi^t,A\Psi^t)}{(\Psi^t,\Psi^t)}$ .
Lo siento, ¡pero la evolución temporal en QM tiene que ser unitaria! De lo contrario, por supuesto que cualquier vector con una norma finita se puede normalizar. Esto plantea otra pregunta: ¿es la norma del vector $\Psi^{t}$ finito para siempre $t$ ? Nuevamente, cualquier referencia o prueba real sería muy apreciada.
Como dije, no tengo ninguna referencia a la mano. Sin embargo, observe que la norma del vector puede ser controlada por la elección de la función $\phi$ . No debería ser demasiado difícil obtener una estimación de la expresión definitoria.
Uno puede elegir una función. $\phi$ , de hecho, pero una vez elegido no se puede cambiar y evoluciona en el tiempo. Así que mi pregunta permanece. Una vez más, cualquier prueba sería muy apreciada.
Encontré un bosquejo de la prueba en el libro de Haag, y la norma es finita, de hecho. Me gustaría agradecerte mucho toda la ayuda que me has brindado. ¡Lo aprecio mucho!

dlont · Answer 3

Este no es un comentario autorizado para sus preocupaciones de interpretación. Las propiedades de Schrödinger del estado dependiente del tiempo $\Psi^t$ son, en realidad, nunca se utilizan. Como se comentó anteriormente, el límite $\lim_{t\rightarrow\pm\infty}A(t)$ por lo general no existe en el sentido del operador, por lo que se actúa sobre un estado de Heisenberg para obtener una cantidad bien definida. Por lo tanto, interpretaría $\Psi^t$ como un símbolo que tiene que ser sustituido por la definición real en la prueba y así permanecer en la imagen de Heisenberg.

¿Por qué existe una dependencia del tiempo en los estados de Heisenberg de la teoría de dispersión de Haag-Ruelle?

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