¿Por qué no se puede expresar cada estado cuántico como una matriz/operador de densidad?

La declaración de yuggib es correcta. Para ponerlo en perspectiva, comenzaré con una formulación completamente general y luego mostraré cómo los operadores de densidad y estados vectoriales encajan en esa imagen. No intentaré ser matemáticamente riguroso aquí, pero intentaré dar una visión general con suficientes palabras clave y referencias para permitir un estudio más profundo.

Estado = funcional lineal positivo normalizado

Cada estado cuántico, puro o mixto, puede representarse mediante un funcional lineal positivo normalizado en el álgebra de operadores. Tal funcional toma cualquier operador$X$como entrada y devuelve un único número complejo$\rho(X)$como salida, con buenas propiedades como

$$\begin{gather*} \rho(X+Y)=\rho(X)+\rho(Y) \hskip2cm \rho(cX)=c\rho(X) \\ \rho(X^*X)\geq 0 \hskip2cm \rho(1)=1 \end{gather*}$$ para todos los operadores$X,Y$y numeros complejos$c$. Estoy usando un asterisco tanto para la conjugación compleja como para el operador adjunto, y estoy escribiendo$1$tanto para el operador de identidad como para el número de unidad. También estoy considerando solo operadores acotados para mantener las declaraciones simples. Esto siempre es suficiente en principio, aunque normalmente usamos algunos operadores ilimitados en la práctica porque es conveniente.

"Funcional lineal positivo normalizado" es un nombre largo para una cosa muy simple. También tiene un nombre más corto: los matemáticos a menudo simplemente lo llaman estado (ver Wikipedia ), y usaré ese nombre aquí. En [1], se llama estado algebraico para distinguirlo de otros usos de la palabra "estado".

Un estado se llama mixto si se puede escribir como

$$\rho(X) = \lambda_1\rho_1(X)+\lambda_2\rho_2(X)$$ para todos$X\in{\cal A}$, dónde$\rho_n$son dos estados distintos y donde los coeficientes$\lambda_n$ambos son números reales positivos (no cero). Un estado que no se puede escribir de esta manera se llama puro .

Todo esto es completamente general. Funciona bien en todo, desde un sistema de un solo qubit hasta la teoría cuántica de campos. Por el contrario, usar un operador de densidad para representar un estado es matemáticamente menos general. Los siguientes párrafos abordan cómo los estados vectoriales y las matrices de densidad encajan en la imagen más general descrita anteriormente.

Estados vectoriales y matrices de densidad / operadores de densidad

El teorema GNS dice que un estado siempre se puede implementar como

$$\rho(\cdots) =\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{ \langle\psi|\psi\rangle}$$ dónde$|\psi\rangle$es un solo vector en alguna representación de espacio de Hilbert del álgebra de operadores. Incluso los estados mixtos siempre se pueden implementar de esta manera. El problema es que la representación del espacio de Hilbert requerida no es necesariamente irreducible, y es posible que debamos cambiar a diferentes representaciones del espacio de Hilbert para implementar diferentes estados de esta manera. La representación del espacio de Hilbert del álgebra de operadores es irreducible si y solo si el estado es puro [2][3].

Un estado$\rho$se llama estado normal si un operador$\hat\rho$(una matriz de densidad u operador de densidad ) existe tal que [4]

$$\rho(\cdots) = \text{Trace}(\cdots \hat \rho).$$ El hecho de que este tipo de estado tenga un nombre especial sugiere que es un tipo especial de estado, que no todos los estados pueden expresarse de esta manera. Esto se confirma en [5], donde Valter Moretti describe contraejemplos. La pregunta de Math SE [6] también pide un contraejemplo, y tiene una respuesta.

Conclusión

Todo esto es consistente con la declaración de yuggib.

no todos los estados cuánticos pueden representarse, en una representación dada (irreducible), como un rayo en el espacio de Hilbert (o como una matriz de densidad, en realidad).

Sin embargo, la declaración debe analizarse con cuidado: las palabras dada e irreducible son importantes. La página de Wikipedia que decía "Describir un estado cuántico por su matriz de densidad es una alternativa completamente general..." podría estar refiriéndose a un contexto menos general, como espacios de Hilbert de dimensión finita, o podría estar usando implícitamente una definición menos general de Estado." Eso no significa que la página de Wikipedia esté equivocada; simplemente significa que, como siempre, debemos tener cuidado con los equívocos.

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Referencias:

[1] Valter Moretti (2013), Spectral Theory and Quantum Mechanics (También está disponible una edición de 2018; cité la versión de 2013 porque es la que tenía a mano cuando escribí esta respuesta)

[2] Proposición 1.8 en https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036

[3] Teorema 14.12 en [1]

[4] https://ncatlab.org/nlab/show/state+on+a+star-álgebra

[5] ¿Existe un significado físico para los estados no normales del álgebra de observables? (sobre Física SE)

[6] "Estado no normal" ( https://math.stackexchange.com/q/2962163 )

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Anexo: Esta respuesta ha sido rechazada un par de veces. No sé por qué (no se dejaron comentarios), pero agrego la siguiente aclaración en caso de que aborde la inquietud:

Si la pregunta hubiera sido "¿Son los estados normales suficientes para todos los propósitos prácticos?" entonces la respuesta seguramente sería sí. Pero esa no era la pregunta. La pregunta preguntaba por el motivo detrás de una declaración matemática específica sobre estados en álgebras de operadores, y eso es lo que esta respuesta intenta abordar.

Creo que la declaración es simplemente errónea. La primera parte de la cita en negrita, "[N]o todos los estados cuánticos se pueden representar, en una representación dada (irreducible)", es precisa, porque solo los estados puros existen como rayos en el espacio de Hilbert. De hecho, el punto central de la formulación de la matriz de densidad es que permite estados más generales, que no son estados puros. Para un estado puro, la matriz de densidad es efectivamente un operador de proyección sobre ese estado (satisfaciendo así$\rho^{2}=\rho$), pero la matriz de densidad también puede ser una suma ponderada probabilísticamente de dichos operadores de proyección. (El significado exacto de estos estados mixtos nos lleva al enigma de la interpretación correcta de la mecánica cuántica; sin embargo, desde un punto de vista práctico, existen, al menos en cierto sentido).

Sospecho que el autor de esa cita simplemente generalizó en exceso. Para estados no puros, no hay una representación en términos de una matriz de densidad$\rho$que satisface$\rho^{2}=\rho$. Muchos tratamientos pedagógicos de la matriz de densidad comienzan considerando solo las matrices de densidad para estados puros, para los cuales$\rho^{2}=\rho$es una condición de consistencia; de hecho, algunos tratamientos ni siquiera abordan el caso más general. Sin embargo, personalmente creo que tal enfoque es una tontería, ya que la motivación más importante para la formulación de la matriz de densidad de la mecánica cuántica es precisamente su capacidad para manejar estados mixtos.