Cálculo del valor esperado para un operador raro

En el artículo Monopolos fundamentales y soluciones multimonopolo para grupos arbitrarios de calibre simple. -E Weinberg

No estoy siendo capaz de ver uno de los cálculos. El autor afirma (ecuación 3.26)

⟨ X ∣ 1 [ − ∇ 2 + v 2 ( α ⋅ h ) 2 + METRO 2 ] 2 ∣ X ⟩ = 1 8 π 1 [ v 2 ( α . h ) 2 + METRO 2 ] 1 2 .

No tengo idea de cómo obtiene esa respuesta. ¿Cómo cambia la potencia a la mitad? En el denominador, todo excepto ∇ 2 son escalares independientes de X . Aquí v , α , h , METRO son todos escalares independientes de la posición.

Aquí hay otra pregunta de OP sobre el artículo de Erick Weinberg.

Respuestas (1)

Una sugerencia:

Intenta insertar una base de Fourier 1 = ∫ d pag | pag ⟩ ⟨ pag | . Eso convertirá el operador diferencial en el denominador en un pag 2 . Luego, la integral se verá como la integral del producto de dos propagadores, y puede buscarla usando el conjunto estándar de trucos para calcular integrales espaciales de cantidad de movimiento.

Esto puede o no funcionar. no nos has dicho que v , α , y METRO son, y soy demasiado perezoso para hacer clic para leer el periódico. Pero apuesto a que funciona, ya que hay un π en el denominador del lado derecho.

lo siento, olvidé poner lo que v , α , h , METRO son. v , α , h , METRO son todos escalares independientes de la posición. Por favor, ¿podría decirme cómo 'resolver los propagadores'? Soy muy nuevo en QM y QFT, y necesito ayuda. ¡Gracias de antemano!
Hay una serie de pequeños trucos de sustitución y reordenamiento integral. En este caso, estaba pensando en en.wikipedia.org/wiki/Schwinger_parametrization . La integral que necesitas también se menciona en el apéndice del Capítulo 11 del Volumen I de Weinberg.
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