Electrones, espines y degeneración.

Si hay dos estados con la misma energía, esos dos estados aún pueden acomodar dos electrones. El principio de exclusión de Pauli dice que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado. Sin embargo, si los estados difieren en un número cuántico, aún son distinguibles.

Tomando tu ejemplo, dos electrones pueden tener el mismo$n, l, m$en un átomo pero uno con espín hacia arriba y otro con espín hacia abajo. Sin embargo, incluso si no hubiera división de energía, no están en el mismo estado ya que tienen un momento angular diferente; los estados en principio son distintos.

Esto hace eco de la respuesta (correcta) de JeffDror, pero también incluye algo de matemática/notación que podría ayudar a iluminar más las cosas.

Consideremos esencialmente su ejemplo. Dejar$H$denote el hamiltoniano para un solo electrón en un potencial central (como cuando se mueve alrededor de un núcleo. Luego, el espacio de estado (espacio de Hilbert) del sistema está atravesado por estados propios de energía

$$\begin{align} |n,\ell,m,m_s\rangle \end{align}$$ dónde $m_s$es el $z$-componente del número cuántico de espín. Tenga en cuenta que la energía de cada uno de estos estados está determinada completamente por el número cuántico principal $n$, por lo que hay mucha degeneración en el espectro. Matemáticamente, cuando $H$actúa sobre cualquiera de estos estados, da un valor $E_n$eso solo depende de $n$; $$\begin{align} H|n,\ell,m,m_s\rangle = E_n|n,\ell,m,m_s\rangle. \end{align}$$ En particular, un electrón spin-up, con $m_s = +1$, tiene la misma energía que un electrón de espín hacia abajo con $m_s=-1$; $$\begin{align} H|n,\ell,m,+1\rangle &= E_n|n,\ell,m,+1\rangle \\ H|n,\ell,m,-1\rangle &= E_n|n,\ell,m,-1\rangle \\ \end{align}$$ Hay una doble degeneración de espín en los niveles de energía; diferentes giros no causan división de energía. Esta situación sería diferente si, por ejemplo, existiera un campo magnético externo que interactuara con el momento magnético del electrón.

Ahora considere un sistema de dos electrones que no interactúan en el potencial central. El espacio de estado de este sistema está atravesado por estados de producto (tensor) que especifican el estado individual de cada electrón;

$$\begin{align} |n_1,\ell_1,m_1,m_{s,1}\rangle|n_2,\ell_2,m_2,m_{s,2}\rangle \end{align}$$ Por conveniencia, suprimamos los números cuánticos del momento angular orbital en la notación por ahora, para que tal estado se escriba como $$\begin{align} |n_1, m_{s,1}\rangle|n_2, m_{s,2}\rangle. \end{align}$$ Dejar $H_2$denotemos el hamiltoniano de este sistema, entonces la energía de tal estado viene dada por la suma de las energías de los estados individuales; $$\begin{align} H_2|n_1, m_{s,1}\rangle|n_2, m_{s,2}\rangle = (E_{n_1}+E_{n_2})|n_1, m_{s,1}\rangle|n_2, m_{s,2}\rangle \end{align}$$ Sin embargo, los estados de esta forma no están permitidos en este sistema porque los electrones son fermiones, y el principio de exclusión de Pauli nos dice que para tal sistema, los únicos estados que están permitidos son aquellos que son antisimétricos en los números cuánticos de los electrones. Esto significa que si escribimos un estado de dos electrones y cambiamos los factores en cada estado de producto que aparece, entonces el efecto general en el estado debería ser que se multiplica por $-1$. Como ejemplo, considere el siguiente estado: $$\begin{align} |2,+1\rangle|2,-1\rangle. \end{align}$$ ¿Está permitido este estado? Ahora, porque cuando cambiamos los factores, no obtenemos negativo del mismo estado; $$\begin{align} |2,+1\rangle|2,-1\rangle \neq |2,-1\rangle|2,+1\rangle. \end{align}$$ Pero podemos arreglar esto. Considere, en cambio, el siguiente estado: $$\begin{align} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\Big(|2,+1\rangle|2,-1\rangle - |2,-1\rangle|2,+1\rangle\Big) \end{align}$$ Observe lo que sucede cuando volteamos todos los términos en este estado; $$\begin{align} \mathrm{Flip}(|\psi\rangle) &= \frac{1}{\sqrt 2}\Big(|2,-1\rangle|2,+1\rangle - |2,+1\rangle|2,-1\rangle\Big)\\ &= -\frac{1}{\sqrt 2}\Big(|2,+1\rangle|2,-1\rangle - |2,-1\rangle|2,+1\rangle\Big) \\ &= -|\psi\rangle \end{align}$$ ¡Este estado funciona! Cuando intercambiamos los números cuánticos de las dos partículas, el estado cambia por un signo negativo. Este estado en realidad tiene un nombre especial; se llama "estado de singlete de espín". Observe que los dos factores en cada estado del producto siempre tienen un electrón con un espín hacia arriba y el otro electrón con un espín hacia abajo. Esta propiedad de antisimetría no puede ser satisfecha por un estado en el que los electrones tienen el ¡El mismo giro porque voltear daría el mismo estado nuevamente sin el signo menos!

Así que el resultado es este:

Independientemente de la forma del hamiltoniano, y en particular si los diferentes estados de espín conducen o no a diferentes energías, los estados permitidos de los electrones están determinados por las propiedades de simetría de sus estados.