¿Cómo se vería el hamiltoniano para varios fermiones con espín?

Hablemos de partículas 1D por simplicidad.

Lo que debe entenderse en primer lugar es que para las partículas indistinguibles el espacio de configuración no es el mismo que para las distinguibles. Para dos partículas distinguibles 1D sin espín, el espacio de configuración es un cuadrado: un lado es para$x_1$, otra para$x_2$. Pero si las partículas parecen indistinguibles, entonces la mitad del espacio es redundante: los estados obtenidos por intercambio de coordenadas de partículas son idénticos. Entonces, para dos partículas sin espín, el espacio de configuración es realmente un triángulo:

Aquí el triángulo morado inferior es el espacio de configuración. Ahora, la ecuación de Schrödinger para dos partículas 1D sin espín indistinguibles se vuelve trivial para obtener a partir de partículas distinguibles: solo tenemos que imponer condiciones de contorno para$x_1=x_2$línea. Para los bosones, la función de onda debe ser simétrica, y esto implica condiciones de Neumann homogéneas. Para los fermiones, la función de onda debe ser antisimétrica, por lo que tiene un nodo en la línea de colisión entre partículas, y esto significa condiciones de Dirichlet homogéneas.

Ahora, para los fermiones, esto automáticamente nos da los estados propios correctos, que de hecho obedecen al principio de exclusión de Pauli: simplemente no pueden tener valores distintos de cero en$x_1=x_2$línea. Aquí están los primeros varios ¹ :

Si ahora queremos volver a nuestro espacio de configuración completo (cuadrado), simplemente debemos agregar ceros al triángulo faltante y luego restar la misma función de onda pero con partículas intercambiadas. Automáticamente aparecerá diferenciable en$x_1=x_2$línea:

Ahora incluyamos el giro en nuestra imagen. Gracias a que el espín es un grado de libertad discreto con un rango finito de valores, para una sola partícula podemos simplemente concatenar sus partes de espacio de configuración correspondientes a diferentes valores de espín. Por ejemplo, un estado de un spin-$\frac12$partícula en caja infinita en estado$\left|1\uparrow\right\rangle+\left|3\downarrow\right\rangle$podría verse así:

Aquí la parte izquierda corresponde al estado del componente de giro hacia arriba de la función de onda, y la derecha es para el componente de giro hacia abajo. Tenga en cuenta que el hamiltoniano no debe tratar de diferenciar la función de onda en la articulación; en la medida en que ignoremos las interacciones dependientes del espín, su matriz debe ser simplemente una matriz de bloques diagonales de dos hamiltonianos sin espín. Ahora, para dos partículas indistinguibles, nada cambia, excepto que ahora usamos un espacio de configuración completo 4 veces más grande (que en el caso sin espín), o un espacio en forma de triángulo correcto 2 veces más grande. Así es como se vería el espacio de configuración completo:

Aquí los estados de espín se denotan como$\left|s_1\right\rangle\left|s_2\right\rangle$dónde$s_i$es el espín de la partícula$i$. Las líneas de colisiones entre partículas se indican con un ligero color oscuro. Ahora el espacio de configuración simetrizado truncado:

El rectángulo superior izquierdo ahora se fusiona con el inferior derecho. Cómo, dependerá del estado. También tenga en cuenta que todavía existe la posibilidad de colisión entre partículas, dentro de este rectángulo inferior derecho, que no hemos simetrizado y, de hecho, no debemos hacerlo (no hay razón para hacerlo en este caso).

Ahora es fácil ver que los estados con giros idénticos se ven obligados a tener un orbital antisimétrico: sus partes orbitales del espacio de configuración son triangulares. Los estados con espines desiguales pueden ser simétricos o antisimétricos (o asimétricos en absoluto). Esto corresponde a la clasificación conocida de estados de dos partículas en singletes de espín y tripletes de espín . Con solo mirar la función de onda, uno podría decir inmediatamente qué tipo de estado tenemos: los estados de triplete tendrán un nodo a lo largo de la línea de colisión entre partículas, lo que significa que el orbital es antisimétrico.

Veamos ahora primero varios estados:

Aquí podemos ver: estados de spin-singlete: números 1,2,6 y trillizos: números 3,4,5.

Para más de dos partículas, parece bastante sencillo generalizar: simplemente trunque el espacio de configuración para que ya no sea posible intercambiar partículas e imponga las condiciones de contorno correctas en las hipersuperficies que aparecen después de estos cortes. Para muchas partículas, esto puede incluso generar algunos ahorros de recursos computacionales: el hipervolumen del espacio de configuración se reduciría en$n!$dónde$n$es el número de partículas, en comparación con el espacio para partículas distinguibles.

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_{1: Usé una forma simplificada de calcular estos estados, simplemente colocando una barrera potencial muy grande en el triángulo superior izquierdo. Para desacoplar diferentes partes de espín de las funciones de onda, también agregué barreras delgadas. En el cálculo real, por supuesto, se debe aprovechar la oportunidad para eliminar datos adicionales del procesamiento y definir más correctamente la matriz hamiltoniana.}