El valor propio de energía de una función de onda

$E=\hbar \omega$es la energía de cualquier partícula, no sólo un fotón.

La terminología valor propio proviene del álgebra lineal. Dada una matriz$M$, un vector propio$v$de$M$con valor propio$\lambda$es una solución a la ecuación

En mecánica cuántica, la función de onda debe considerarse como una especie de vector. Los observables están representados por operadores (hermitianos) (que son moralmente lo mismo que las matrices (hermitianas)), y los valores propios de esos operadores son los valores posibles que puede tomar el observable.

Así que configurando$M=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$,$v=\Psi$, y$\lambda=\hbar \omega$, verá que la ecuación que escribió es solo una ecuación de valor propio para el "operador de energía"$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$. El valor propio es$\hbar \omega$. Se llama valor propio de energía porque el observable es la energía.

Su sistema físico será descrito por una función de onda (prefiero llamarlo un "estado")$\Psi$. Si$\Psi$satisface esa ecuación de valor propio, entonces medirá el sistema para tener la energía$E$con 100% de probabilidad. En general$\Psi$no será un vector propio del operador de energía. Sin embargo, se puede escribir como una suma de vectores propios de energía debido a las propiedades mágicas de los operadores hermitianos (nota agregada: me refiero al teorema especial, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ). En ese caso, si mide la energía, la medirá como uno de los valores propios de los vectores propios que forman$\Psi$, con probabilidad dada por el cuadrado de la amplitud de ese vector propio.

Si las notas que está siguiendo no explicaron esto claramente antes de sumergirse en hablar sobre los valores propios de la energía, le recomiendo buscar referencias alternativas para leer. Hay un millón de referencias que explican la mecánica cuántica a todos los niveles y de muchas maneras diferentes. Este punto sobre el que pregunta es el concepto central de toda la mecánica cuántica, por lo que definitivamente vale la pena leer muchas fuentes sobre esto para encontrar la que tiene la explicación que le parezca más clara.

el resultado que obtenemos es el valor propio de energía de la onda.

No es correcto pensar en "el" valor propio de energía de una función de onda.

Más bien, una función de onda es una función propia de energía o no lo es.

Si es una función propia de energía, entonces hay un valor propio de energía , de lo contrario no lo hay.

En otras palabras, su primera ecuación se cumple solo si el$\Psi$es una función propia de energía.

La función de onda general no es una función propia de energía, pero siempre se puede descomponer en una suma ponderada de funciones propias de energía.