¿Por qué la energía del estado fundamental de la partícula en una caja no es cero?

Entiendo que queremos resolver para valores distintos de cero de la función de onda. Siempre pensé que era para evitar la respuesta obvia a la ecuación de Schrödinger. Pero desde el punto de vista físico, si tenemos una partícula de masa metro , ¿es realmente imposible que tenga energía de cero? Desde el punto de vista matemático, ¿no debería ser cero la energía del estado fundamental de cada sistema? En caso afirmativo, ¿qué significa eso? Nada. ¿Vacío como estado fundamental?

Pero, ¿no existe un estado fundamental de energía cero para la partícula-en-la-caja, tomando norte = 0 en mi norte = norte 2 ℏ 2 π 2 2 metro a 2 ?
¿Quiso decir el oscilador armónico cuántico?
@probably_someone exactamente esa era mi pregunta. Un libro de texto que leí dice que el estado fundamental está en n=1. No entiendo si evitar el cero es arbitrario o teóricamente/físicamente significativo.
@probably_someone n=0 no es una elección legítima para el número cuántico en este caso, por ejemplo, si pones eso en tu función de onda para la partícula en una caja, obtienes una tontería
@R.Rankin Depende de lo que quieras decir con "tonterías". Obtienes una función de onda que es idénticamente cero en todas partes, lo que significa que no hay nada en la caja.
@probably_someone bastante justo, sin embargo, ese no es un nivel de energía para la partícula. Creo que la pregunta del OP se entiende mejor en el contexto de QFT, segunda cuantización y considerando todas las partículas como operadores en el estado de vacío (que en sí mismo tiene un valor de expectativa de 0 para la energía) no en la jerga no relativista.
Otra forma de formular el problema es que si permitimos un estado fundamental con norte = 0 , no sería normalizable, ya que la función de onda es idénticamente cero. si hubiéramos permitido norte = 0 , y supuestamente preparar un sistema en este estado fundamental (estacionario) tendríamos ∫ ψ ψ ∗ = 0 , en lugar de ∫ ψ ψ ∗ = 1 como se requiere de un estado cuántico.

Respuestas (3)

En lo que respecta a la mayoría de los libros de texto sobre mecánica cuántica (no relativista), no consideramos la solución para norte = 0 porque nos da una solución trivial (y la interpretamos en el sentido de que no hay ninguna partícula dentro de la caja/pozo).

Sin embargo, si hubiera un estado fundamental con energía cero para un potencial de pozo cuadrado, implicaría que (dado que la partícula tiene energía cero), estaría en reposo dentro del pozo cuadrado, ¡y esto claramente violaría el principio de incertidumbre de Heisenberg!

Al confinar una partícula a una región muy pequeña en el espacio, adquiere un momento pequeño pero finito. Entonces, si la partícula está restringida para moverse en una región de ancho Δ X ∼ a (es decir, la longitud total del pozo), podemos calcular la incertidumbre mínima en el momento (usando el principio de incertidumbre) y resulta ser Δ pag ∼ ℏ / a . Y, esto a su vez nos da la energía cinética mínima del orden ℏ 2 / ( 2 metro a 2 ) . Esto (cualitativamente) concuerda con el valor exacto de la energía del estado fundamental.

Entonces, físicamente, la existencia de una energía de punto cero es una característica necesaria de un sistema mecánico cuántico. Indica que la partícula debe exhibir 'un movimiento mínimo' debido a la localización. Clásicamente, la energía más baja posible del sistema corresponde al valor mínimo de la energía potencial (siendo la energía cinética cero). Pero en la mecánica cuántica, el estado de energía más bajo corresponde al valor mínimo de la suma de la energía potencial y cinética, y esto conduce a un estado fundamental finito o energía de punto cero.

Entiendo tu línea de razonamiento. ¿No debería abordarse esto matemáticamente en la misma formulación de la ecuación de Schrödinger? ¿Está bien poner una declaración adicional que diga que evitemos alguna solución matemática para mantenerla consistente con el principio de incertidumbre?
Bueno, el principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva de los postulados de la mecánica cuántica y la ecuación de Schrödinger o la evolución temporal del sistema es en sí misma otro postulado. Entonces, según tengo entendido, aquí todo es consistente con los postulados de la mecánica cuántica, como debe ser. No estamos agregando "declaraciones adicionales" arbitrariamente, si eso es lo que está preguntando.

El cero de la energía es completamente arbitrario, como el cero del tiempo o del espacio.

De hecho, suponga que la energía del estado fundamental de H es a , entonces H − a I , dónde I es el operador de identidad, tiene energía de estado fundamental cero y los mismos vectores propios de H . Además, genera la misma evolución temporal (aparte de un factor de fase no físico). Por lo tanto es, desde el punto de vista físico, indistinguible del original.

Lo que estás sugiriendo esencialmente equivale a perturbar el hamiltoniano, ¿verdad? Básicamente, las perturbaciones de orden mayor que uno desaparecerán para una perturbación constante en general. También podemos calcular la función de onda. Pero, ¿es esto cierto siempre? Tendremos problemas si el espectro de energía (no perturbado) se degenera (por ejemplo, al resolver una caja 3D).
Agregar una constante es una perturbación muy trivial. Y no hace nada más que desplazar el espectro en una cantidad numérica fija.
Podemos cambiar un hamiltoniano por cualquier constante, pero el problema aquí es que, debido a que elegirías un ℏ -constante dependiente, no estarías cuantificando el hamiltoniano clásico, que está escrito bajo el supuesto ℏ = 0 . Entonces, en realidad, se debe hacer una interpretación física de la energía de punto cero que este argumento de simplemente cambiar el potencial pasa por alto. noir1993 ha proporcionado la interpretación de la caja; para el oscilador armónico es que [ a , a † ] ∝ ℏ porque [ X , pag ] ∝ ℏ .
Pero cuando estamos tratando con perturbaciones, la constante de acoplamiento (aquí, a ) debe ser pequeño (de lo contrario no podemos expandirlo en una serie de potencias). Para un electrón, el estado fundamental es aproximadamente 30 mi V lo cual no es despreciable y dudo que la teoría de la perturbación no degenerada se aplique a una perturbación tan grande (mecánicamente cuántica).
@ noir1993 Si no podemos deducir analíticamente el espectro del nuevo hamiltoniano, necesitamos pequeñas perturbaciones para usar la serie de Taylor, pero en este caso el espectro es trivial de obtener.
@JG Que un hamiltoniano sea la cuantización de un símbolo clásico es una cuestión de conveniencia, no un requisito físico. El requisito físico es que en el límite obtendrás el comportamiento clásico correcto. Y eso sigue siendo cierto si el hamiltoniano se desplaza por el ℏ -dependiente de la energía del punto cero. Además, hasta donde yo sé, solo las diferencias de energía son observables experimentalmente (por ejemplo, midiendo la frecuencia de la radiación emitida o absorbida); por lo tanto, la energía del estado fundamental no es medible.
Finalmente, también matemáticamente es fácil ver que cambiarlo a cualquier valor deseado (finito) no cambia nada relevante. En este contexto, lo que realmente importa físicamente es que el hamiltoniano está acotado por abajo (es decir, el sistema no puede emitir energía indefinidamente).
Esta respuesta está algo fuera de lugar: si bien puede cambiar la energía total en una cantidad arbitraria, no puede evitar la energía cinética media distinta de cero en el estado fundamental.

estoy compartiendo mi opinion   :       Como sabemos, los estados de energía discretos de la mecánica cuántica aparecen solo cuando consideramos un problema de estado ligado. En general, se dice que la energía del estado fundamental nunca puede ser cero mecánicamente cuánticamente. Ahora piense que tiene un problema de estado ligado. Eso significa que la partícula está limitada en alguna región. Entonces, si obtenemos un estado de energía cero (significa que la energía es cero: como norte = 0   i norte   mi norte = norte 2 π 2 ℏ 2 2 metro a 2   partícula en la caja), entonces la partícula no tendrá energía en ese estado. Significa que estará descansando en alguna posición definida. Entonces puedes predecir su posición perfectamente midiendo mientras descansa y también puedes decir el impulso = 0 como está en reposo. Pero el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice claramente que   Δ X . Δ pag ≥ ℏ 2   . Pero entonces este producto será cero. De esta manera, la energía cero viola el HUP. Y así se elimina.

Su respuesta podría mejorarse con información de apoyo adicional. Edite para agregar más detalles, como citas o documentación, para que otros puedan confirmar que su respuesta es correcta. Puede encontrar más información sobre cómo escribir buenas respuestas en el centro de ayuda .
El norte = 0 caso conduce a una función de onda que es cero en todas partes, por lo que no puede definir una ley de probabilidad normalizada. Por lo tanto, no es un estado físicamente posible para la partícula de todos modos. Además, cuando algo es el resultado de un razonamiento basado en la lógica, no es una opinión. ;)
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