Me dieron un problema en el que tengo un potencial esféricamente simétrico (creo que la forma exacta no es relevante para esta pregunta, pero de todos modos es 0 para y en cualquier otro lugar) y me pidieron que encontrara la energía del estado fundamental. Nota: en realidad puedo resolver el problema, pero primero asumí . Ahora que lo pienso, solo estaba haciendo la suposición a ciegas y me gustaría una justificación para ello.
¿Es siempre cierto que el estado fundamental de cualquier función potencial esféricamente simétrica tiene un momento angular orbital cero? [El caso del átomo de hidrógeno parece salirse del álgebra, y una explicación física que funcione en general sería mucho mejor]
Aquí hay un documento con una prueba de que el estado fundamental debe ser l = 0 para potenciales esféricamente simétricos para una sola partícula, suponiendo que haya un estado ligado. Abstracto:
El principio variacional se usa para mostrar que la función de onda del estado fundamental de una ecuación de Schrödinger de un cuerpo con un potencial real es real, no cambia de signo y no es degenerada. Como consecuencia, si el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones y transformaciones de paridad, el estado fundamental debe tener paridad positiva y momento angular cero.
Esencialmente,
Se puede demostrar que el estado fundamental debe ser real y no negativo en todas partes, suponiendo que exista un estado ligado y suponiendo un espín cero. El argumento en el documento es abstracto, pero la idea es que, después de convertir la función de onda en un producto de los factores de amplitud y fase que pueden variar con la posición, después de calcular las partes de energía potencial y cinética del valor esperado , la única parte de la energía que depende de la fase es un término de energía cinética que se minimiza al hacer que la fase sea constante. Si la fase es constante, se puede suponer que la función de onda es real y no puede cambiar de signo.
A partir de ahí, se puede demostrar que el estado fundamental es único. Básicamente, si no fuera así, habría una segunda función de onda de estado fundamental (que tampoco puede cambiar de signo), pero no pueden ser ortogonales ya que no se puede integrar el producto de dos funciones reales que no cambian de signo. funciones de onda y obtener cero.
La simetría esférica del hamiltoniano exige que si hay un estado con una energía, también debe haber un estado con la misma energía, por lo que la única posibilidad es tener .
(Habiendo dicho eso, el artículo cita este artículo , diciendo que si tenemos una colección de dos partículas con un fuerte acoplamiento espín-órbita entre ellas, el hamiltoniano general puede tener simetría esférica, pero el sistema tendrá una ruptura de simetría espontánea y terminará con .)
Considere la contribución (al menos perturbativa) del "potencial" efectivo adicional en la ecuación radial cuando , analice su signo y juzgue en consecuencia.
La explicación física es simple: es una energía cinética adicional de un movimiento de rotación.
usuario4552