(Nota: esta pregunta se hizo antes aquí , pero no seguí la respuesta).
Para la partícula libre, la ecuación de Schrödinger viene dada por
Me gustaría resolver la función de onda en el espacio de momento, es decir . Mi primer paso fue tratar de resolver el problema de valor propio
No estoy del todo seguro de adónde ir desde aquí para determinar y . Parece que , pero el hecho de que es una variable me confunde.
Otra forma de ver este problema es considerarlo en el espacio de posición y luego transformar la solución a su representación en el espacio de cantidad de movimiento. Si bien esto puede parecer una cantidad de trabajo innecesaria, puede iluminarle la solución de la función delta de una manera diferente. Entonces, en el espacio de posiciones tenemos
Antes de convertir esto en su representación de espacio de momento, recuerde la representación integral de la función delta de Dirac (a la que se puede llegar considerando la ortogonalidad de la posición o los estados propios del momento):
Usando lo anterior, transformemos nuestra solución con Fourier para obtener su representación de momento:
Ahora pégate , y usa el hecho de que y para reescribir esto como
donde he recopilado constantes y las he llamado y por la simplicidad de la solución final. Obviamente, esto es más trabajo que darse cuenta de que la solución en el espacio de momento corresponde al comportamiento de la función delta, pero tal vez encuentre esta ruta esclarecedora; o, al menos, una buena verificación de consistencia.
Obtienes la solución de
Para que esta ecuación se cumpla debe ser o . Eso significa que para cada excepto por debe ser . Solo para y se permite que es distinto de cero.
Entonces, la solución más general a todo esto es (usando la función delta de Dirac )
JJ