¿Algo especial sobre los estados propios de energía cuando se trata de la evolución del tiempo?

Question

¿Algo especial sobre los estados propios de energía cuando se trata de la evolución del tiempo?

RESPLANDOR

Una partícula está sujeta a un potencial de pozo cuadrado infinito con

V (X) = {\begin{cases} 0 & - a < X < a \\ \infty & de lo contrario \end{cases}

$V(x)= \begin{cases} 0 & −a \lt x \lt a\\ \infty & \,\,\,\,\text{otherwise} \end{cases}$

en un momento $t=0$ su función de onda está dada por

ψ (X, t = 0) = \frac{1}{\sqrt{5 a}} porque (\frac{π X}{2 a}) + \frac{2}{\sqrt{5 a}} pecado (\frac{π X}{a})

$\psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{5a}}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)+\frac{2}{\sqrt{5a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$

(a) ¿Cuáles son los posibles resultados de una medición de energía en $t = 0$ , y con que probabilidades?

Reescribiendo los términos en $\psi(x,t=0)$ como

{tu}_{1} (X) = a^{- 1 / 2} porque (\frac{π X}{2 a}) & {tu}_{2} (X) = a^{- 1 / 2} pecado (\frac{π X}{a})

$u_1(x)=a^{-1/2}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\qquad \text{&} \qquad u_2(x)=a^{-1/2}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ tal que

ψ (X, t = 0) = \frac{1}{\sqrt{5}} {tu}_{1} (X) + \frac{2}{\sqrt{5}} {tu}_{2} (X)

$\psi(x,t=0)= \frac{1}{\sqrt{5}}u_1(x)+\frac{2}{\sqrt{5}}u_2(x)$ con energías

{mi}_{1} = \frac{ℏ^{2} π^{2}}{8 metro a^{2}} & {mi}_{2} = \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 metro a^{2}}

$E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}\qquad \text{&} \qquad E_2=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2}$ y probabilidades

PAG ({mi}_{1}) = \frac{1}{5} & PAG ({mi}_{2}) = \frac{4}{5}

$P(E_1)=\frac15 \qquad \text{&} \qquad P(E_2)=\frac45$

(b) Si no se realiza ninguna medición, ¿cuál es la función de onda $\psi(x, t)$ en todo momento $t$ ? ¿Cuáles son las energías posibles y sus probabilidades si primero se realiza una medición en el tiempo $t$ ?

en un momento $t$ la función de onda viene dada por

ψ (X, t = 0) = \frac{1}{\sqrt{5 a}} porque (\frac{π X}{2 a}) Exp (\frac{- i {mi}_{1} t}{ℏ}) + \frac{2}{\sqrt{5 a}} pecado (\frac{π X}{a}) Exp (\frac{- i {mi}_{2} t}{ℏ})

$\psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{5a}}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\exp\left(\frac{-i E_1 t}{\hbar}\right)+\frac{2}{\sqrt{5a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\exp\left(\frac{-i E_2 t}{\hbar}\right)$

El problema es que no puedo responder a la segunda parte de la pregunta (b).

La respuesta dice que:

Debido a que los dos términos son estados propios de energía, las probabilidades relativas no cambian y son como en la parte anterior.

Tengo algunas preguntas sobre la declaración anterior: ¿por qué un "estado propio de energía" significa que las probabilidades no cambian con el tiempo? O, dicho de otra manera, ¿un "estado propio de impulso" (por ejemplo) tiene probabilidades relativas constantes cuando se mide en cualquier momento?

La respuesta parece implicar que hay algo especial en los estados propios de la energía cuando se trata de la evolución del tiempo. Los valores propios de las mediciones de energía no parecen cambiar independientemente de cuántas veces los mida, y sin importar cuánto tiempo espere hasta que los mida. No estoy seguro de si este es el caso, pero ¿podría alguien explicar por qué todos los operadores cuánticos (excepto el hamiltoniano) no muestran este comportamiento?

Respuestas (2)

¿Algo especial sobre los estados propios de energía cuando se trata de la evolución del tiempo?

ravjotsk · Answer 1

La razón por la cual los estados propios de energía son especiales se debe a la ecuación de Schrödinger

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = \hat{H} Ψ (X, t)

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t)$ Si

\hat{H}

$\hat{H}$ es independiente del tiempo, la solución de la ecuación está dada por

Ψ (X, t) = {mi}^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t} Ψ (X, 0)

$\Psi(x,t)= e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t} \, \Psi(x,0)$

El hecho de que los estados propios de energía sean especiales con respecto a la evolución en el tiempo se debe precisamente a que el hamiltoniano controla la evolución en el tiempo del sistema tal como lo da la ecuación anterior.

Si expandes tu estado inicial $\Psi(x,0)$ en términos de los estados propios del hamiltoniano, la acción del operador exponencial en esos estados se da fácilmente. Suponer $\psi_n(x)$ representa un estado de energía $E_n$ y suponga que puede expandir su estado inicial como

Ψ (X, 0) = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} (X)

$\Psi(x,0) = \sum_n c_n \psi_n(x)$ dónde

c_{n}

$c_n$ son constantes (independientes del tiempo). Entonces la solución completa de la ecuación de Schrödinger es

Ψ (X, t) = \sum_{norte} C_{norte} {mi}^{- \frac{i}{ℏ} {mi}_{norte} t} ψ_{norte} (X)

$\Psi(x,t) = \sum_n c_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \psi_n(x)$ Ahora porque

c_{n}

$c_n$ son independientes del tiempo, la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado propio de energía particular es la misma para todo el tiempo. Puedes ver esto calculando

| ⟨ ψ_{m} | Ψ (x, t) ⟩ |^{2} = | c_{m} |^{2}

$|\langle \psi_m | \Psi(x,t) \rangle|^2=|c_m|^2$

La razón por la que para otros operadores esto puede no ser cierto para un operador aleatorio, digamos $\hat{B}$ es porque los estados propios de este operador pueden no evolucionar de forma independiente. Con la evolución del tiempo, pueden mezclarse entre sí. En otras palabras, si expande un estado inicial aleatorio en términos de los estados propios del operador $\hat{B}$ y luego mire la proyección en un estado propio después de un tiempo de evolución, el coeficiente cambiará. Con un poco de trabajo puedes darte cuenta de que la condición de que los coeficientes permanezcan independientes del tiempo es que el operador $\hat{B}$ conmuta con el hamiltoniano, es decir, $[\hat{H},\hat{B}]=0$ .

PD: como se señaló en los comentarios de @ACuriousMind, aunque $[\hat{H},\hat{B}]=0$ es necesario, puede no ser suficiente para asegurar que los coeficientes sean independientes del tiempo. En última instancia, lo que necesita es una base propia común para los operadores $\hat{B}$ y $\hat{H}$ para asegurar que la evolución temporal no mezcle los estados.

una mente curiosa · Answer 2

Un estado propio de energía es un estado propio del hamiltoniano $H$ . Si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces el operador de evolución temporal es $U(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$ , por lo que cada estado propio de energía es también un estado propio del operador de evolución temporal, lo que significa que permanece en el mismo estado bajo la evolución temporal.

Ningún otro operador exhibe esta característica peculiar para sus estados propios porque el hamiltoniano es especial al estar conectado a la evolución del tiempo a través de la ecuación de Schrödinger.

¿Algo especial sobre los estados propios de energía cuando se trata de la evolución del tiempo?

RESPLANDOR

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ravjotsk

una mente curiosa

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